多元函数微分法及其应用 方向导数与梯度课件.ppt

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1、第五节方向导数与梯度一方向导数二梯度1实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向(即梯度方向)爬行．1问题的提出一方向导数2讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．2方向导数的定义3当沿着趋于时，是否存在？4记为5证明由于函数可微，则增量可表示为两边

2、同除以得到故有方向导数6解如果记为到方向的转角,则方向导数的计算公式为7解方向的逆时针转角，故例2求函数在点（1，1）处沿任何一方向l的方向导数，并问在怎样的方向上此方向导数有（1）最大值；（2）最小值（3）等于零？设为轴到则8推广可得三元函数方向导数的定义9解令故方向余弦为10故11例4设函数求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数解曲线在点M(1,1,1)处切线的方向向量为l的方向余弦为12二梯度1场的概念定义如果对区域中的每一点，对应着物理量的一个确定的值，则称在区域确定了该物

3、理量的一个场，当对应的物理量为数量时，则称为数量场，当对应的物理量为向量时，则称为向量场。上的数量场区域上的数量函数上的向量场区域上的向量函数在空间直角坐标系下，数量函数可以表示为向量函数可以表示为13由方向导数公式令向量方向导数取最大值：2梯度的概念设数量场一阶偏导数连续，方向的方向余弦为14这说明方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值定义如果在数量场中一点处，存在这样一个向量其方向为数量场在点处变化率最大的方向，其模恰为这个最大变化率的数值，则称向量为数量场在点处的梯度(gradient)

4、,记作或当且一阶偏导数连续时15当且一阶偏导数连续时说明:函数沿方向的方向导数为梯度在该方向上的投影.引入哈密尔顿微分算子则梯度可以表示为16函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),指向函数增大的方向.另一方面，函数在点P处沿梯度方向的方向导数是最大的，从而沿梯度方向函数值是增加的，所以3梯度的几何意义函数过点当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为有等值(量)面17解由梯度计算公式得故18例6求数量场在点处沿曲面的内法向的方向导数。分析：曲面在点处的等值面，为函数其内法向u的函数值增大的方

5、向，根据梯度的几何意义：数量场u为在点M处的梯度为函数u过点M的等值面的法向，且指向u函数值增加一方，因此在点处的内法向为数量场u在点处梯度的方向，再由梯度的定义数量场u沿梯度方向的方向导数最大，最大的方向导数为梯度的模。19例6求数量场在点处沿曲面的内法向的方向导数。解20例7证:试证处矢径r的模,214梯度的基本运算公式22