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1、第六章图像变换的不变性与偏微分方程讨论具有单调和对比不变的图像变换，即形态学算子(基本思想是用具有一定形态的结构元素去量度和提取图像中的对应形状以达到对图像的分析和识别的目的，其基本元算有四个：膨胀、腐蚀、开启、闭合)，重点介绍：膨胀、腐蚀和中值算子。然后依次赋予形态学算子平移不变性、欧氏不变性和仿射不变性，并讨论它们的微分性质，导出相关的偏微分方程。6.1形态学算子—单调和对比不变的图像变换6.1.1定义前面学过连续模型下图像空间的定义，是一族由R2→R的特殊函数组成的函数空间，并记为F。图像变换T是作用在F上的一个算子，即T将一副图像u变换为另一幅图像Tu。图像水平集之间的变换，
2、是对于F中所有函数，Y表示在F所拥有的所有水平集，即Y={clu;u∈F,l∈[0,1]}这是一个由R2的子集组成的集合族。对于图像变换T，引进算子T′作用在Y上，它将一个水平集X转换为另一个水平集T′X，即T′:X∈Y→T′X∈Y定义1：称图像变换T是单调递增的，如果对于任意两两幅图像u,v∈Fu≥v⇒Tu≥Tv集合算子T′是单调递增的，如果对于任意X,Y∈YX⊂Y⇒T′(X)⊂T′(Y)定义2：图像变换T是对比不变的，如果对每一个连续对比变换g，对任意的u∈F，都满足g(u)∈F和g(Tu)=T(g(u))同时满足单调性和对比不变的图像变换被称为形态学算子。可以证明：线性算子是单
3、调的，但不是对比不变的。例1：最大值滤波是对比不变的。最大值滤波定义：其中B是包含原点的闭集，x+B={x+z;z∈B}。假设，由于x+B为闭集，∃z∈x+B，满足u(z)=a，而u(y)≤u(z),∀y∈x+B又因为对比变换g是单调递增的，所以g(u(y))≤g(u(z))=g(a)∀y∈x+B即，对图像g(u)满足对比不变定义D(gu(x))=g(a)=g(Du(x))对比不变的图像变换有一特殊性质，即变换的结果使图像保留了原图像的部分灰度。一副二值图像在经过对比不变图像变换后还是一副二值图像。但线性滤波器都不具备这一特性。下面定理说明了这一性质，记R(u)为图像u的值域，即R(
4、u)={s∈[0,1],∃x,u(x)=s}其中Ru是包含R(u)的最小闭集。定理1：T是一对比不变的图像变换。那么对每一副图像u，R(Tu)⊂Ru，特别的，如果图像u只有有限个灰度值，则Tu只取其中的部分灰度值。证明：考虑一连续单调递增函数g，满足g(s)=s，当s∈Ru时。否则，g(s)﹥s。定义：g(s)=s+d(s,Ru)∕2其中d(s,X)表示s到X距离。当且仅当s∈Ru时，有d(s,Ru)=0因此，当且仅当s∈Ru时，g(s)=s，所以g(u)=u。因为T是对比不变的，所以Tu=T(g(u))=g(Tu)因此(Tu)(x)∈Ru。■定义3：一个图像变换T是灰度
5、平移不变的，如果对任意的常数C，有T(u+C)=Tu+C如果图像变换T同时具有灰度平移不变性和对比不变性，就得到下面的结论。定理2：T是一个单调灰度平移不变算子，如果u(x)是R2上的Lipschitz函数，那么Tu(x)也是Lipschitz函数，并且Tu(x)的Lipschitz常数比u(x)的Lipschitz常数小。Lipschitz常数定义：如果函数u满足
6、u(x)–u(y)
7、﹤k
8、x-y
9、,∀x,y则u为Lipschitz函数，k为u的Lipschitz常数。证明：假设u的Lipschitz常数为K。对任意的x,y,z有
10、u(x+z)-u(y+z)
11、≤K
12、x-y
13、u(y+
14、z)-K
15、x-y
16、≤u(x+z)≤u(y+z)+K
17、x-y
18、因为T单调，考虑上面关于z的函数，有T(u(y+z)-K
19、x-y
20、)≤Tu(x+z)≤T(u(y+z)+K
21、x-y
22、)注意到取z=0,有T(u(y+z))=(Tu)(y)，用T的灰度平移不变性（将K
23、x-y
24、看做C）得Tu(y)-K
25、x-y
26、≤Tu(x)≤Tu(y)+K
27、x-y
28、。
29、Tu(x)-Tu(y)
30、≤K
31、x-y
32、■6.1.2从形态学算子到集合算子记集合X⊂W上的特征函数为1x，即1x也被认为是一个图像函数，即1x∈F。借助特征函数，可从单调、对比不变的图像变换（形态学算子）T衍生出一个集合变换T′。定义4：令T是一个
33、单调、对比不变的图像变换，定义T的伴随集合算子T′为∀X⊂W,1X∈FT′(X)=c1(T(1X))另外T′(F)=F,T′(W)=W如果T作为函数是单调的，那么T′作为集合变换也是单调的。因为X⊂Y⇒1X≤1YT作为单调的图像变换，使单调性得以保持T(1X)≤T(1Y)定理3：T是一个对比不变的单调算子。阈值函数gl(s)定义为,如果s≥l，则gl(s)=1；否则gl(s)=0。那么T几乎处处和每一个阈值函数相交换，即gl(Tu)=T(gl(u))对l,
