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1、MATLAB的科学计算5.1解析解与数值解5.2数值线性代数问题求解5.2.1特殊矩阵输入zeros(m,n)ones(m,n)eye(m,n)rand(m,n)5.2.2矩阵的特征参数运算1、行列式det(a)a=[123;456;780];det(a)2、迹trace(a)对角线元素和3、秩rank(a)线性无关4、范数norm(a,选项）[norm(a),norm(a,2),norm(a,1),norm(a,inf),norm(a,'fro')]5.2数值线性代数问题求解5、特征多项式、特征方程、特征根构造矩阵sI-A求出其行列式,可得
2、到多项式：C(s)=det(sI-A)=sn+c1sn-1+...+cn-1s+cnC(s)为A的特征多项式，ci为多项式系数c=poly(a)C(s)=s3-6s2-72s-27令C(s)＝0构成的方程为特征方程，其根为矩阵的特征根。eig(a)多项式方程求根函数roots(c)5.2数值线性代数问题求解6、多项式及多项式矩阵的求值polyval(aa,x)polyvalm(aa,A)aa:降幂排列多项式向量。x:给定变量(标量），数组规则运算。A:给定矩阵，矩阵规则运算。a=[123;456;780]aa=poly(a)b=polyval
3、(aa,2)c=polyvalm(aa,a)5.2数值线性代数问题求解多项式处理函数poly特征多项式conv卷积roots多项式的根（伴随矩阵法）deconv多项式除法rootsl多项式的根（拉格朗日法）residue部分分式展开polyval多项式求值polyfit多项式曲线拟和polyvalm矩阵多项式求值5.2数值线性代数问题求解5.2.3矩阵的相似变换与分解1、三角形分解LU分解任何一个方阵可以表示成两个三角矩阵的乘积，其中一个是换位的下三角阵，一个是上三角阵。lu函数可得到分解后的两个三角阵。a=[123;456;780];[l,
4、u]=lu(a)l*u,det(a),det(l)*det(u)5.2数值线性代数问题求解2、正交分解QR分解将任何矩阵表示成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。[q,r]=qr()a=[123;456;789;101112][q,r]=qr(a)q*r3、奇异值分解[u,s,v]=svd(a)4、特征值特征向量[x,d]=eig(a)d:特征值，x:每一列是一个特征向量。5.3 数值微积分问题Matlab中有一类函数不对数值矩阵工作，而对数学函数工作。数值积分、非线性方程求解、优化、微分方程求解。5.3.1 数值差分运算dy=diff(y)
5、y由{yi},i=12..n组成,diff处理后得出一个新向量{yi+1-yi},i=12..nv=vander(1:6)%万达摩方阵diff(v)对每一列进行差分运算。列数不变，行数减1[dx,dy]=gradient(a)二维差分运算5.3 数值微积分问题5.3.2 数值积分函数定积分的数值方法很多，其基本思想是将整个积分空间分割为若干子空间，子空间可积，整体可积。Matlab基于这样的思想采用自适应变步长方法给出quad()函数求定积分。5.3 数值微积分问题编写humps.m文件functiony=humps(x)y=1./((x-.
6、3).^2+0.01)+1./((x-.9).^2+0.04)-6;绘图x=-1:0.01:2;>>plot(x,humps(x))0－1积分q=quad('humps',0,1)一般调用格式：[y,n]=quad(F,a,b,tol)y:积分值、n：被积函数调用次数、F：被积函数，一般用一个.m文件表示。a、b上下限、tol:变步长积分误差限，默认1e-3。5.3 数值微积分问题常用一元函数积分指令p93:表5－3quidquid8quid1trapzsumfnintquid与quid8误差线1e-6,新引入quid1代替。除直接用.m文件
7、描述函数外，还可使用inline()函数定义一个函数例：f=inline('1/sqrt(2*pi)*exp(-x.^2/2)','x'),[y,kk]=quad(f,-8,8)避免建立不必要的文件双重积分：dblquad(函数名，xm,Xm,ym,Ym,yol)I=5.4常微分方程的数值解法5.4.1一般常微分方程的数值解法：只包含一个自变量的微分方程（ODE问题）：常微分方程。初值问题、边值问题假定一阶常微分方程x’i=fi(t,x),i=1,2,3...,nx状态变量xi构成的向量，x=[x1,x2,...xn]T状态向量。n为系统阶次
8、fi(..)为任意非线性函数t时间变量设定初值x(o),求解常微分方程组。表5-4p95[t,x]=ode23(方程函数名，[t0,tf],x0,’选项’)[t,x
