材料力学弯曲变形课件.ppt

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1、梁的变形与刚度设计DESIGNOFBEAMSFORBENDINGDEFLECTIONS一。弯曲变形概念θ,v受载荷作用后，梁的轴线将弯曲成为一条光滑的连续曲线,在平面弯曲的情况下，这是一条位于载荷所在平面内平面曲线。梁弯曲后的轴线称为挠曲线。相对于原截面转过的角位移θ，称为转角挠曲线是一条连续光滑平面曲线，其方程是挠度v—截面形心在坐标y方向上的位移，其正负号与y坐标轴正负相符；转角θ—横截面绕中性轴转过的角度，其正负号，逆时针为正，顺时针为负，OPyxθ梁截面有沿垂直方向的线位移v，称为挠度；在小变形情况下，有：二。挠曲线的近似微分方程对梁，有：对平面曲线，有关系式：由上两式可得：考虑到弯

2、矩M的符号与挠曲线凸向之间的关系M>0v''>0xyM<0v''<0xy可见，M与v‘’的符号相同，挠曲线的近似微分方程为：θ,vOPyxθ三。计算弯曲变形的积分法用直接积分法求梁的弯曲变形：弯矩方程是一个分段函数，设某段函数为Mi，则该段的微分方程是积分一次得：再积分一次得：如果M(x)是n段分段函数(i=1,2,...,n)，则要决定2n个积分常数，它们可以通过下列条件决定：1.边界条件：指梁的约束条件(1)固定端截面：挠度和转角均为0；(2)铰链约束：挠度为0；挠曲线的任意点上的挠度和转角是唯一的，n段分段函数有(n-1)个分段点，在分段点上有：θj=θj+1，vj=vj+1(j=1,

3、2,…,n-1)，共有2(n-1)个条件；而不会出现挠度和转角不等情况。在工程计算中，习惯上用y来表示梁在指定截面处的挠度。2.光滑连续性条件：求图示简支梁受集中载荷P作用下的弯曲变形θA、θB和最大挠度。RABARBPCablyx解：用积分法求转角和挠度：(b)求弯矩方程。因AC、CB两段弯矩方程不同，分别写出弯矩方程CB段AC段（1）求约束反力。x1x2(c)列挠曲线微分方程并二次积分。CB段AC段RABARBPCablyxx1x2(d)决定积分常数。(1)边界条件:(2)光滑连续性条件RABARBPCablyxx1x2(e)结果（转角和挠度方程）。CB段RABARBPCablyxx1x

4、2AC段(f)求指定截面的弯曲变形。要决定最大挠度，令：在a>b时，最大挠度发生在AC段，可求得则最大挠度为RABARBPCablyxx1x2四。计算弯曲变形的叠加法小变形情况下，几个载荷共同作用下所引起的某一物理量，等于各载荷单独作用时所引起的物理量的总和（代数和或矢量和）。用叠加法求图示外伸梁的θC和vC，梁的抗弯刚度是EI。aBACaqaM=qa2P=qa(a)将梁上的载荷分解为三种简单载荷单独作用的情形。叠加原理：解应用叠加法求转角和挠度BACaaaP=qa(1)BACaqaa(3)BACaaaM=qa2(2)BACaaaP=qa(1)BACaaaM=qa2(2)(b)而第三种情形又

5、可分解为如下二种载荷单独作用的情形。(32)BACaaaqaqa2/2(3)BACaqaaqa(31)BACaaaq将AC刚化将AB刚化(b)而第三种情形又可分解为如下二种载荷单独作用的情形。(32)BACaaaqaqa2/2(3)BACaqaaqa(31)BACaaaq将AC刚化将AB刚化(d)应用叠加法，将三种情形下转角和挠度叠加。BACaaaP=qa(1)BACaqaa(3)BACaaaM=qa2(2)五。梁的刚度条件与合理刚度设计1.梁的刚度条件指梁的最大挠度和最大转角不能超过许可值，即弯曲构件的刚度条件。2刚度的合理设计对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不

6、同要求，将最大挠度和转角限制在一定范围内，即满足弯曲刚度条件。BAP=3.5kNC500500q=1.035kNm简化电机轴的尺寸和载荷如图所示，已知E=200GPa，d=130mm，定子与转子的许用间隙δ=0.35mm；校核轴的刚度。解(a)用叠加法求梁的最大挠度(b)刚度校核轴的刚度足够。3提高梁的弯曲刚度的措施梁的弯曲变形与弯矩M（x）及抗弯刚度有关，而影响梁弯矩的因素又包括载荷、支承情况及梁的有关长度。因此，为提高梁的刚度，可采用如下一些措施：由梁的挠曲线近似微分方程:可见1）.选择合理的梁截面，从而增大截面的惯性矩I；2）.调整加载方式，改善梁结构，以减小弯矩：使受力部位尽可能靠近

7、支座；或使集中力分散成分布力；3）.减小梁的跨度；增加支承约束；其中第三种措施的效果最为显著，因为梁的跨长或有关长度是以其乘方影响梁的挠度和转角的。六。简单静不定梁解除多余约束(个数与静不定次数相同)，代之以约束力,CBAPCBAPRC其次，建立多余约束处的变形协调条件，yc=0得到静不定梁的静定基。依此建立补充方程，联立求解补充方程和平衡方程，得出所有约束力。图示杆系中，AB和CD梁的抗弯为EI，BD杆的拉