高等数学课件 同济四版.ppt

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1、复习一.空间曲线的切线与法平面参数方程若方程为:若方程为:二.空间曲面的切平面与法线设曲面的方程为:特殊：若方程为显函数形式:1第七节方向导数与梯度一、方向导数1.定义2.计算公式二、梯度2.梯度与方向导数的关系沿梯度方向的方向导数最大,最大值为梯度的模1.定义2一、方向导数1.定义设在点某邻域内有定义,自点引射线,设x轴正向到射线的转角为(逆时针方向为正,顺时针方向为负)存在记作即xyo若极限在上另取一点称此极限值为函数在点沿方向的方向导数.3即其中为x轴正向到方向的转角.xyO定理若函数在点可微,则函

2、数在点一方向的方向导数都存在,且沿任证4xyO沿特殊方向的方向导数的方向与轴方向相同，的方向与轴方向相同，的方向与轴方向相反，的方向与轴方向相反，由方向导数定义和偏导数定义也易看出5设函数在点可微,则函数在点沿任一方向的方向导数存在,且其中为方向的方向角.推广6的方向导数.求函数在点处沿从点到点例1注意中为与同方向的单位向量xyo-112PQ在点处,所以解单位化(L1)7求函数在点处沿从点到点的方向导数.例2注意为与同方向的单位向量中方向即向量解单位化在点处故8解设搞清什么函数在什么点沿什么方向的方向导数

3、。例3求函数在椭球面上点处沿外法线方向的方向导数。(Bu)则所以点处外法线的方向向量为分析：说明：取个具体点判断即可处的内外法向量，判断闭合曲面在点只要9单位化而106.曲线在点处的切线正方向(对应于t增大的方向)切向量在点处的切线正方向由曲线方程知:t增大即x增大，即向量的第一个坐标为正PP60:2,3,6的方向导数11轴正向的切线方向的方向导数2.PP60:2,3,6,处偏向在点切向量123.曲线在点处的内法线方向的方向导数在点处的内法线方向PP60:2,3,6,13二、梯度为函数在点的梯度.记作即或

4、定义称向量设二元函数在区域D内有一阶连续偏导数，对任意点矢量14推广对于三元函数或15三、梯度与方向导数的关系结论函数在某点的梯度是一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，它的模就是方向导数的最大值。事实上其中为梯度与向量的夹角.沿l的方向导数就是梯度在上的投影.所以可见：沿梯度方向的方向导数达到最大值16解所以沿梯度方向的方向导数最大,最大值为例4函数在点处沿什么方向的方向导数并求此方向导数的最大值.最大？(P61.10)17解的方向导数.求函数在点处沿方向角例7为18函数的等高线(或等值线)梯

5、度的几何意义点P(x,y)处的梯度方向与等高线在点P(x,y)处的一个法向量方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线19小结作业：33~36书8-7；指导例8.27一、方向导数1.定义2.计算公式二、梯度2.梯度与方向导数的关系沿梯度方向的方向导数最大,最大值为梯度的模1.定义20