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时间：2020-07-25
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1、1.6无穷小的比较本节我们对一些尚未解决的极限问题做一点初步的讨论.因为无穷大的倒数为无穷小,我们用“0”和“”分别表示无穷小和无穷大,则下列形式的极限都不能用极限运算法则求解:所以,和都可以看做的变形.由也是的变形.原因是这些形式的极限值可能是任意的实数,也可能不存在.我们称上述四种形式的极限为未定式的极限,例如,不存在.另外,对幂指函数(且不恒等于1),由及指数函数与对数函数的连续性,有如果为未定式的极限,为型未定式,即则也是未定式,且有以下三种形式：而且这三种形式经过函数的恒等变形都可以化为的形式.综上所述,两个无穷小之商的极
2、限,在极限的讨论中具有特别的地位.实际上,这样的极限是对两个无穷小趋于零的速度进行比较,简称无穷小的比较.例如,当不可比.下面我们对无穷小趋于零的速度进行量化比较.观察各极限极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不存在,定义1.11(无穷小量阶的比较)记作记作注：在不太关心无穷小具体表示时,也把无穷小记作例1证明当证(1)(2)故(2)成立.(3)由(1)有再由(2)有特别地,如果当时,是无穷小,习惯将同幂函数进行比较.例2当解常用等价无穷小:一个无穷小性质:例如,当证定理1.26(无穷小的等价代换)意义:利用等价无穷小代换可
3、以简化极限的计算.解注意:无穷小替换定理适用于乘、除情形,无穷小代数和的情形需慎用.例3求解解错例4求解例5求练习解故求作业习题1.6(67页)1.(1)3.4.(1)(5)7.(单)10.(双)
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