高数第一章无穷小比较.ppt

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1、第一章一、无穷小的阶第七节二、等价无穷小无穷小的比较1都是无穷小,引例当但可见无穷小趋于0的速度是多样的.2一、无穷小的阶若则称是比高阶的无穷小,若若设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称是比低阶的无穷小;则称是的同阶无穷小;定义1如：故时是关于x2的同阶无穷小。例如,当时3二、等价无穷小定义2若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,则称是的等价无穷小,记作例如,当～时～～又如，故时～～4例1.证明:当时,～证:～5例2.求解:原式说明:当时,有6解:令则原式说明:当时,有例3.求7主讲教师:王升瑞高等数学第八讲8定理1.设且存在,则证:例如,

2、此定理称为等价无穷小的替代定理。9例4.求解:例5求解10例6求解：利用数列极限与函数极限的关系11解例7求一般，若则12解例8求13则有说明:若例9.求解:原式14～～定理2.证:即即例如,～～故15设对同一变化过程,,为无穷小,极限运算法则无穷小的性质,(1)和差取大规则:由等价可得简化某些极限运算的下述规则.若=o(),例9证明例1016例如,(2)和差代替规则:例11求解原式17(3)因式代替规则:界,则例如,例12解18解:原式=例1319例14求解:原式=1(2000考研)20内容小结1.无穷小的比较设,对同一自变量的变化过程为无穷小,

3、且是的高阶无穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小是的k阶无穷小212.等价无穷小替换定理～～～～～(1)和差取大规则:若=o(),常用等价无穷小:22(2)和差代替规则:(3)因式代替规则:界,则23作业P631口答；2单号；3;4；5；6.242（14）2010考研252（16）解因为当时，当时，令，则所以266.(2014考研)当时，若均是比x高阶的无穷小，求的取值范围。所以解及27