矩阵方程求解方法.pdf

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1、矩阵方程求解方法本文所述的矩阵方程是指形如Ax=b的方程，其中A是一个mxn的矩阵，称为方程的系数矩阵。x和b是mx1的矩阵。特别的，当b=0时，这种方程又称为齐次方程。本文将讨论这种矩阵的有解条件和求解方法。矩阵方程的有解条件为了解释矩阵方程的有解条件，我们首先要熟悉一些概念。一个矩阵方程的增广矩阵是系数矩阵A和b并在一起构成的矩阵，记作(A,b)。假定,,则矩阵方程的增广矩阵就是矩阵的秩定义为其行向量中极大线性无关组中包含向量的个数，等价的说法是，矩阵的秩是r，则矩阵通过行列初等变换，变换成左上角是一个r阶单位矩阵，其他都是

2、0的矩阵。矩阵A的秩记作r(A)，其中r是英文单词rank的缩写。有了这两个基本概念，我们就可以准确描述矩阵方程的有解条件了：矩阵方程Ax=b的有解条件是矩阵A的秩等于增广矩阵(A,b)的秩，也就是r(A)=r(A,b)。证明很简单，既然矩阵A的秩是r，那么肯定可以找到两个可逆的矩阵P,Q，满足--1)其中Ir表示r阶单位矩阵。应用到原来的方程，可以得到:--2)-1我们把Qx当作一个未知的变量，PAQ当作系数，这就构成一个新的矩阵方程。而这个矩阵方程的左侧系数除了前r行是有1的之外，其余行是0。为了它有解，Pb的后m-r行必须

3、也是0。这样(A,b)的秩必然是r。-1-1必须注意到Q是可逆的，因此以Qx为未知变量的方程有解意味着以x为未知变量的原方程也是有解的。矩阵方程的解对于矩阵方程Ax=b，如果满足r(A)=r(A,b)，则矩阵方程是有解的。为了求它的解，我们首先把矩阵方程通过行列初等变换变化成前文2）式的形式，代入1）式后得到：--3)-1其中Qx和Pb是一个列向量，我们可以把它们分割成rx1和(n-r)x1的两个矩阵，分别记作x’1和x’2，及b’1和b’2。则很显然我们可以得到：--4)很显然，b’2必须为0，因为展开后b’2等于0x’1+0

4、x’2=0而由4式可以看出，x’1=b’1，x’2可以为任意向量。所以方程最后的解为：--5)从解的形式可以看出解空间有如下特性：1．方程Ax=b的解空间的秩是n-r(A)2．如果A是满秩的，则方程的解唯一。