二项分布超几何分布数学期望与方差公式的推导.pdf

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1、专题研究108ZHUANTIYANJIU二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推导●韩晓东(江苏省淮阴中学223002)高中教材中对二项分布、超几何分布数学期望与方差ni-1i-1n-i22np∑Cn-1pq-np公式没有给出推导过程,现笔者给出一推导过程仅供读者i=12n-2n-122参考.=pn(n-1)(p+q)+np(p+q)-np222预备公式1=pn(n-1)+np-npiCi=nCi-1(n≥1),利用组合数计算公式即可证明.=np-p2nnn-1预备公式2=np(1-p).Dξ=Eξ2-(Eξ)2,证明见教材.二、

2、超几何分布预备公式3一批产品共N件,其中有M件不合格品,随机取出的nC0Ck+C1Ck-1+C2Ck-2+…+CkC0=Ck(n,m,k∈件产品中,不合格数X的概率分布为:nmnmnmnmn+mN＊,k≤n,k≤m),利用恒等式(1+x)n+m=(1+x)n(1+X0123…l-1lx)m的二项展开式中xk的系数相等可证.C0CnC1Cn-1C2Cn-2C3Cn-3Cl-1Cn+1-lClCn-lMN-MMN-MMN-MMN-MMN-MMN-MPCnCnCnCn…CnCn一、二项分布NNNNNN在独立重复实验中,某结果发生的概率均为

3、p(不发生其中l=min(n,M).的概率为q,有p+q=1),那么在n次实验中该结果发生的lCiCn-iMN-ME(x)=∑in次数ξ的概率分布为:i=0CNlξ0123…n-1nMi-1n-i=n∑CM-1CN-MPC0qnC1pqn-1C2p2qn-2C3p3qn-3…Cn-1pn-1qCnpnCNi=1nnnnnnMn-1n=nCN-1(利用预备公式3可得)E(ξ)=iCipiqn-iCN∑ni=0nMn=.iin-iN=∑iCnpqlin-i2i=12CMCN-MMnnV(x)=∑in-i-1in-ii=0CNN=∑nCn

4、-1pq(利用预备公式1可得)i=1MlMn2i-1n-in=Cn∑iCM-1CN-M-N=np∑Ci-1pi-1qn-iNi=1n-1i=1lMi-1n-in-1=(i-1)CC+=np(p+q)Cn∑M-1N-MNi=1=np.l2Mi-1n-iMnV(ξ)=Eξ2-(Eξ)2n∑CM-1CN-M-NCNi=1nl=i2Cipiqn-i-n2p2Mi-2n-i∑n=n(M-1)∑CM-2CN-M+i=0CNi=2nl2=niCi-1piqn-i-n2p2Mi-1n-iMn∑n-1n∑CM-1CN-M-i=1CNi=1Nnn2=n

5、∑(i-1)Ci-1piqn-1+nCi-1piqn-i-n2p2Mn-2Mn-1Mnn-1∑n-1=n(M-1)CN-2+nCN-1-Ni=1i=1CCNNn2i-2i-2n-iMMn-1=pn(n-1)∑Cn-2pq+=n1-1-.i=2NNN-1数学学习与研究2010.11