二项分布和超几何分布的数学期望

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1、二项分布的数学期望X～b(n,p)，其中n≥1,0

2、EX2+...+EXn=np,DX=DX1+DX2+...+DXn=np(1-p). 证明方法(二)：EX=∑kb(k;n,p)=∑k*C(k,n)p^kq^(n-k)=np∑C(k-1,n-1)p^(k-1)q^(n-1-k+1)=np∑C(k,n-1)p^kq^(n-1-k)=np∑b(k;n-1,p)=npDX=npq可用公式DX=EX^2-(EX)^2求出EX^2=∑k^2b(k;n,p)=∑[k(k-1)+k]b(k;n,p)=∑k(k-1)b(k;n,p)+∑kb(k;n,p)=n(n-1)p^2∑b(k;n-2,p)+np=n(n-1

3、)p^2+np=n^2p^2+npq=n^2p^2+npq所以DX=EX^2-(EX)^2=n^2p^2+npq-n^2p^2=npq二项分布和超几何分布的数学期望当X～B(n，p)时，E(X)=rCpkqn-k=npCpk-1qn-k=np(p+q)n-1=np．为求超几何分布的数学期望，我们先建立数学期望的基本性质：性质1若a≤X≤b，则a≤E(X)≤b．特别地，E(c)=c，这里的a，b，c是常数；性质2线性性：对任意常数ci，i=1,2,…,n，及b，有E(ciXi+b)=ciE(Xi)+b．下面计算超几何分布X～H(n，M，N)的数学期望

4、．设想一个相应的不放回抽样，令Xi=则P(Xi=1)=，因此E(Xi)=，而X=X1+X2+…+Xn表示n次抽样中抽出的废品数，它服从超几何分布，利用性质2，得到E(X)=E(X1)+…+E(Xn)=．