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1、习题7-51.求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.解所求平面的法线向量为n=(3,-7,5),所求平面的方程为3(x-3)-7(y-0)+5(z+1)=0,即3x-7y+5z-4=0.2.求过点M0(2,9,-6)且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程.解所求平面的法线向量为n=(2,9,-6),所求平面的方程为2(x-2)+9(y-9)-6(z-6)=0,即2x+9y-6z-121=0.3.求过(1,1,-1)、(-2,-2,2)、(1,-1,2)三点的平面方程.解n1=(1,-1,2)-(1,1,-1)=(
2、0,-2,3),n1=(1,-1,2)-(-2,-2,2)=(3,1,0),所求平面的法线向量为,所求平面的方程为-3(x-1)+9(y-1)+6(z+1)=0,即x-3y-2z=0.4.指出下列各平面的特殊位置,并画出各平面:(1)x=0;解x=0是yOz平面.(2)3y-1=0;解3y-1=0是垂直于y轴的平面,它通过y轴上的点.(3)2x-3y-6=0;解2x-3y-6=0是平行于z轴的平面,它在x轴、y轴上的截距分别是3和-2.(4);解是通过z轴的平面,它在xOy面上的投影的斜率为.(5)y+z=1;解y+z=1是平行于x轴的平面,它在y轴、z轴上
3、的截距均为1.(6)x-2z=0;解x-2z=0是通过y轴的平面.(7)6x+5-z=0.解6x+5-z=0是通过原点的平面.5.求平面2x-2y+z+5=0与各坐标面的夹角的余弦.解此平面的法线向量为n=(2,-2,1).此平面与yOz面的夹角的余弦为;此平面与zOx面的夹角的余弦为;此平面与xOy面的夹角的余弦为.6.一平面过点(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0),试求这平面方程.解所求平面的法线向量可取为,所求平面的方程为(x-1)+(y-0)-3(z+1)=0,即x+y-3z-4=0.7.求三平面x+3y+z=1,2x
4、-y-z=0,-x+2y+2z=3的交点.解解线性方程组得x=1,y=-1,z=3.三个平面的交点的坐标为(1,-1,3).8.分别按下列条件求平面方程:(1)平行于zOx面且经过点(2,-5,3);解所求平面的法线向量为j=(0,1,0),于是所求的平面为0×(x-2)-5(y+5)+0×(z-3)=0,即y=-5.(2)通过z轴和点(-3,1,-2);解所求平面可设为Ax+By=0.因为点(-3,1,-2)在此平面上,所以-3A+B=0,将B=3A代入所设方程得Ax+3Ay=0,所以所求的平面的方程为x+3y=0,(3)平行于x轴且经过两点(4,0,-2
5、)和(5,1,7).解所求平面的法线向量可设为n=(0,b,c).因为点(4,0,-2)和(5,1,7)都在所求平面上,所以向量n1=(5,1,7)-(4,0,-2)=(1,1,9)与n是垂直的,即b+9c=0,b=-9c,于是n=(0,-9c,c)=-c(0,9,-1).所求平面的方程为9(y-0)-(z+2)=0,即9y-z-2=0.9.求点(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距离.解点(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距离为.
