概率论第五章习题解答(全).pdf

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1、第五章习题解答1、据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为100h的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和1920h的概率。16解设这16只元件的寿命为Xi，i1,2,,16，则XXi，i122因为EX()100，DX()10000ii1616XinXi1600X1600i1i1于是随机变量Z近似的服从N(0,1)2n1000016400X160019201600X1600PX{1920}P

2、{}P{0.8}400400400X16001P{0.8}1(0.8)＝10.78810.2119.4002（1）一保险公司有10000个汽车保险投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为280美元，标准差为800美元，求索赔总金额不超过2700000美元的概率；（2）一公司有50张签约保险单，每张保险单的索赔金额为X，i1,2,,50（以千美元i计）服从韦布尔分布，均值EX()5，方差DX()6求50张保险单索赔的合计总金额ii大于300的概率。10000解（1）设

3、每个投保人索赔金额为Xi，i1,2,,10000，则索赔总金额为XXii12又EX()280，DX()800，所以，ii索赔总金额不超过2700000美元的概率PX{2700000}1`PX{270000}10000Xi2801000027000002800000i11P{}8001008000010000Xi280000010i11P{}80000810000Xi2800000i11P{1.25}近似的服从N(0,1)80000即

4、PX{2700000}1(1.25)(1.25)0.8944（2）PX{300}1PX{300}50Xi505300250i11P{}65030050Xi5055i11P{}650350Xi505i11P{2.89}6501(2.89)10.99810.00193、计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立，且在（－0.5，0.5）上服从均匀分布，（1）将1500个数相加，问误差总和的绝对值

5、超过15的概率是多少？（2）最多可有几个数相加，使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？解设每个加数的舍入误差为X，i1,2,,1500，由题设知X相互独立同分布，且在ii（－0.5，0.5）上服从均匀分布，从而20.50.5(0.50.5)1EX()0，DX()ii212121500X15000X(1)、记XXi，由独立同分布的中心定理有近似的服从N(0,1)，i11125150012从而PX{

6、

7、15}1PX{

8、

9、15}1P{15X15}

10、15X151P{}12512512515151[()()]555532(1())2(1(1.34))2(10.9099)0.1802。5n（2）、记XXi，要使PX{

11、

12、10}0.90，由独立同分布的中心极限定理，i1近似地有10X10PX{

13、

14、10}P{10X10}P{}nnn121212102()10.90n1210即()0.95，查表得(1.64)0.95n1210令1.64，解得n443。n12即最多可有

15、443个数相加，可使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90。4、设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，圴方为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？解设每只零件的重量为X，i1,2,,5000，由独立同分布的中心极限定理知i5000Xi0.55000i1近似地服从N(0,1)50000.1则PX{2510}1PX{2510}5000Xi0.5500025102500i11P{}500

16、00.1505000Xi0.5500010i11P{}50000.150101()1(1.414)＝1－0.9207＝0.0793。7.075、有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现从这批木柱中随机地取100根，求其中至少有30要短于3m的概率。解把从这批木柱中随机地取一根看作一次试验，并假定各次试验相互独立，在100次试验中长度不小于3m的根数记作X，则X是随机变量X，且Xb(100,0.8)，其分布律为kk100k