平面向量等值线法.pdf

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1、技巧八平面向量基本定理系数的等值线法一、适用题型在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时，可以用等值线法。二、基本理论（一）平面向量共线定理已知OAOBOC,若1，则A,B,C三点共线；反之亦然（二）等和线平面内一组基底OA,OB及任一向量OP，OPOAOB,R，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，则k(定值),反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线成为等和线。（1）当等和线恰为直线AB时，k1；（2）当等和线在O点和直线A

2、B之间时，k0,1；（3）当直线AB在O点和等和线之间时，k1，；（4）当等和线过O点时，k0；（5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；（6）定值k的变化与等和线到O点的距离成正比；（三）等差线平面内一组基底OA,OB及任一向量OP，OPOAOB,R，C为线段AB的中点，若点P在直线OC上或在平行于OC的直线上，则k(定值),反之也成立，我们把直线OC以及与直线OC平行的直线称为等差线。（1）当等差线恰为直线OC时，k0；（2）当等差线过A点时，k1；（3）当等差

3、线在直线OC与点A之间时，k0,1；（4）当等差线与BA延长线相交时，k1，；（5）若两等差线关于直线OC对称，则两定值k互为相反数；1（四）等积线平面内一组基底OA,OB及任一向量OP，OPOAOB,R，若点P在以直线OA,OB为渐近线的双曲线上，则为定值k，反之也成立，我们把以直线OA,OB为渐近线的双曲线称为等积线（1）当双曲线有一支在AOB内时，k0；（2）当双曲线的两支都不在AOB内时，k0；（3）特别的，若OAa,b,OBa,b，点P在双曲线22xy

4、11(a0,b0)时，k；22ab4（五）等商线平面内一组基底OA,OB及任一向量OP，OPOAOB,R，若点P在过O点（不与OA重合）的直线上，则k(定值)，反之也成立。我们把过点O的直线（除OA外）称为等商线。（1）当等商线过AB中点时，k1；（2）当等商线与线段AC（除端点）相交时，k1，；（3）当等商线与线段BC（除端点）相交时，k0,1；（4）当等商线即为OB时，k0；（5）当等商线与线段BA延长线相交时，k,1；（6）当等商线与线段AB延长线相

5、交时，k1,0；（7）当等商线与直线AB平行时，k1；（六）等平方和线平面内一组基底OA,OB及任一向量OP，OPOAOB,R，且22OAOB，若点P在以AOB角平分线为半长轴的椭圆上，则为定值k，反之也成立，我们把以以AOB角平分线为半长轴的椭圆称为等平方和线。222xy特别的，若OAa,b,OBa,b，点P在双椭圆1(a0,b0)22ab1时，k；2三、解题步骤1、确定等值线为1的线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最

6、小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；四、几点补充1、平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；2、若需要研究的是两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和或差；五、典型例题例1给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OCxOAyOB，其中x，yR，则xy的最大值是___________.答案：2例2在正六边形ABCDEF中，P

7、是三角形CDE内（包括边界）的动点，设APxAByAF,则xy的取值范围__________答案：3,43例3如图，在平行四边形ABCD中，M、N为CD边的三等分点，S为AM与BN的交点，P为边AB边上一动点，Q为△SMN内一点（含边界），若PQxAMyBN,则xy的取值范围是__________.4答案：1，3例4梯形ABCD中，ADAB，ADDC1,AB3,P为三角形BCD内一点（包括边界），APxAByAD，则xy的取值范围_

8、_________4答案：1，312例5设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点，ADAB,BEBC,若23DEABAC(,为实数)，则的值为__________.121212（注：此题为13江苏高考题第8题，但点E为三等分的条件其实没有必要，可舍）1答案：24例5在正方形ABCD