数学建模解多元线性回归问题.doc

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1、公司年销售额的分析摘要公司年销售额通常和很多因素有关，但它们之间并不是确定性关系，所以我们用回归分析来处理，并建立了多元线性回归模型。本文用最小二乘的方法给出了变量间相关关系的回归方程，针对各因素对公司年销售额的影响我们与偏回归平方和联系起来，并将各因素的影响程度进行了排序。还通过F检验和T检验分别验证了回归方程的显著性和方程系数的显著性。最后我们采用了逐个剔除的方法找出了影响年销售额的主要因素，并且建立了新的回归方程，再次进行检验，新回归方程高度显著，最后得到了个人可支配收入、价格、投资和广告费密切相关的结论。第一问：我们首

2、先对附表1的数据进行处理，利用MATLAB对残差向量进行分析，剔除其中的异常点。然后建立起多元线性回归模型，采用最小二乘的方法来估计回归方程的参数。我们引入偏回归平方和的概念来判定各因素对年销售额的影响程度，并对各因素的影响程度由深到浅进行了排序。第二问：通过对回归平方和和剩余平方和的分析，并且运用F检验法来判定线性回归方程的显著性。由于回归方程显著并不意味着每个自变量，，,…对因变量的影响都是重要的。所以我们对方程系数的显著性用T检验法进行了检验。最后通过逐个剔除的方法找出了其中的主要因素,主要因素为：个人可支配的收入、价格

3、、投资、广告费这四个方面。第三问：通过逐个剔除的方法建立了新的回归方程，并对新的回归方程进行显著性检验，对方程系数进行显著性检验。得到了公司的年销售额与个人可支配收入、价格、投资和广告费密切相关的结论。关键词：多元线性回归最小二乘法F检验T检验偏回归平方和1问题重述在经济流通领域中，某公司的年销售额（）与个人可支配的收入（）；商人的回扣（）；价格（）；研究与发展费（）；投资（）；广告费（）；销售费用（）；总的工业广告预算（）等有关。附表1中是某公司的原始数据。建立模型，分析各因素对年销售额的影响程度。并对所做模型进行检验，找出

4、影响销售额的主要因素。最后分析主要因素与销售额的关系，并给出结论。2问题分析对于公司年销售额的分析，我们知道，和有关的变量有8个，研究与变量，，,…之间的定量关系的问题为多元回归问题。又因为许多多元非线性回归问题都可以化为多元线性回归问题，所以对于本问题我们建立了多元线性回归的数学模型。第一问：首先对附表1的数据进行处理，对残差向量进行，剔除其中的异常点。然后我们建立了多元线性回归的数学模型，并采用了最小二乘法来估计参数。把模型写成矩阵的形式，化简整理得其正规方程组，通过对正规方程组的求解，最后得到回归方程。对于各因素对年销售

5、额的影响程度，由于利用偏回归平方和可以衡量每个变量在回归中所起的作用大小（即影响程度），我们对每个变量的偏回归平方和进行了计算，最后把影响程度由深到浅的各因素进行了排序。第二问：回归方程的显著性检验：事先我们并不能断定随机变量与一般变量，，,…之间是否确有线性关系。在求线性回归方程前线性回归模型只是一种假设，所以在求出线性回归方程之后，我们需要对其进行统计检验。将总的平方和分解为回归平方和和剩余平方和，运用F检验法来判定线性回归方程的显著性。回归系数的显著性检验：由于回归方程显著并不意味着每个自变量，，,…对因变量的影响都是重

6、要的。而我们要找出响销售额的主要因素，即从回归方程中剔除那些次要的、可有可无的变量，这就需要我们对每个变量进行考察。显然，如果某个变量对的作用不显著，那么在多元线性回归模型中，它前面的系数就可以取值为零。因此，检验因子是否显著等价于检验假设。最后再运用T检验法来辨别模型中哪些因子是显著的。第三问：由于回归系数之间存在相关性，当从原回归方程中剔除一个变量时，其他变量，特别是与它密切相关的一些变量的回归系数就会受到影响，剔除一个变量后，这个变量对的影响很大部分转加到另一个变量对的影响上。所以，我们对回归系数进行一次检验后，只能剔除

7、所有不显著因子中值最小的，然后重新建立新的回归方程，再对新的回归系数逐个进行检验，直到余下的回归系数都显著为止。3符号说明表一符号说明影响年销售额的因素。（）年销售额（）相互独立且服从同一正态分布的随机变量（）变量的偏回归平方和总平方和回归平方和剩余平方和待估计系数参数（）的回归值参数的最小二乘估计（）4模型假设1.影响销售额的各个因素相互之间关联性不大，即相互独立。2.异常值认为是人为因素引起的，可将其剔除。5模型的建立与求解第一问：5.1模型Ⅰ“多元线性回归的数学模型”5.1.1模型的建立1、处理数据我们先通过MATLAB

8、（程序见附录1）对原始数据进行检验，对残差向量进行分析，得到了残差向量分析图，剔除其中的异常点。2、设随机变量假如变量与另外8个变量，，,…的在联系是线性的，它的第次试验数据是=1,2，…,8（1）那么这一组数据可以假设有如下的结构式：（2）其中，，…，是9个待估计参数，，，