计量地理学第三章统计分析方法5主成分分析课件.ppt

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1、第三章统计分析方法§1　地理要素间的相关分析§2　地理要素间的回归分析§3时间序列分析法§4系统聚类分析方法§5主成分分析方法§6马尔可夫预测方法§7　地理系统的空间趋势面分析主成分分析的原理主成分分析的解法主成分分析方法应用实例问题的提出地理系统是多要素的复杂系统。变量太多，会增加分析问题的难度与复杂性，而且多个变量之间是具有一定的相关关系的能否在相关分析的基础上，用较少的新变量代替原来较多的旧变量，而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来变量所反映的信息？主成分分析方法就是综合处理这种问题的一种强有力的工具。主成分分析是把原来多个变量

2、划为少数几个综合指标的一种统计分析方法。从数学角度来看，这是一种降维处理技术1主成分分析方法的基本原理假定有n个地理样本，每个样本共有p个变量，构成一个n×p阶的地理数据矩阵当p较大时，在p维空间中考察问题比较麻烦。为了克服这一困难，就需要进行降维处理.要求：较少的几个综合指标尽量多地反映原来较多变量指标所反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的例，成绩数据100个学生的数学、物理、化学、语文、历史、英语的成绩如下表（部分）。对于多维变量的情况和二维类似，也有高维的椭球，只不过无法直观地看见首先把高维椭球的主轴找出来，再用代表大多数数据信息

3、的最长的几个轴作为新变量；这样，主成分分析就基本完成注意，和二维情况类似，高维椭球的主轴也是互相垂直的。这些互相正交的新变量是原先变量的线性组合，叫做主成分.正如二维椭圆有两个主轴，三维椭球有三个主轴一样，有几个变量，就有几个主成分选择越少的主成分，降维就越好。什么是标准呢？那就是这些被选的主成分所代表的主轴的长度之和占了主轴长度总和的大部分。有些文献建议，所选的主轴总长度占所有主轴长度之和的大约85%即可，其实，这只是一个大体的说法；具体选几个，要看实际情况而定定义：记x1，x2，…，xP为原变量指标，z1，z2，…，zm（m≤p）为新

4、变量指标系数lij的确定原则：zi与zj（i≠j；i，j=1，2，…，m）相互无关z1是x1，x2，…，xP的一切线性组合中方差最大者，z2是与z1不相关的x1，x2，…，xP的所有线性组合中方差最大者；……zm是与z1，z2，……，zm－1都不相关的x1，x2，…xP，的所有线性组合中方差最大者。则新变量指标z1，z2，…，zm分别称为原变量指标x1，x2，…，xP的第一，第二，…，第m主成分从以上的分析可以看出，主成分分析的实质就是确定原来变量xj（j=1，2，…，p）在诸主成分zi（i=1，2，…，m）上的荷载lij（i=1，2，…

5、，m；j=1，2，…，p）从几何上看,找主成分的问题,就是找出P维空间中椭球体的主轴问题；从数学上容易知道，从数学上可以证明，它们分别是相关矩阵的m个较大的特征值所对应的特征向量2主成分分析的解法对原始地理数据进行标准化处理（标准差标准化），即其中计算相关系数矩阵R计算特征值和特征向量根据特征方程计算特征值，即解的特征多项式，求并使特征值按从大到小的顺序排列，即列出关于每个特征值的特征向量计算主成分贡献率及累计贡献率▲贡献率:▲累计贡献率:一般取累计贡献率达85—95%的特征值所对应的第一、第二、…、第m（m≤p）个主成分计算主成分载荷(

6、主成分Zk与变量xi之间的相关系数)各主成分的得分：§3特征值与特征向量的计算方法雅可比法适合于对称矩阵任一实对称矩阵A，均存在一正交变换矩阵T，使那么就是A的特征值，而变陈之积的各列就是相应的特征向量二维情况如令则将原始矩阵A化成了对角矩阵。雅可比法的计算步骤1、选择对称矩阵中非对角线元素最大者，记为2、作正交变换一般的假设在原始矩阵的对角线以外元素中，以的绝对值为最大。设，作一个转轴变换4主成分分析方法应用实例例2,根据表1中给出的数据，对某农业生态经济系统做主成分分析表1某农业生态经济系统各区域单元的有关数据步骤如下：将表中的数据作

7、标准差标准化处理，然后将它们代入公式计算相关系数矩阵表2　相关系数矩阵（2）由相关系数矩阵计算特征值，以及各个主成分的贡献率与累计贡献率（见表3）。由表3可知，第一，第二，第三主成分的累计贡献率已高达86.596%（大于85%），故只需要求出第一、第二、第三主成分z1，z2，z3即可。表3　特征值及主成分贡献率（3）对于特征值=4.6610，=2.0890，=1.0430分别求出其特征向量e1，e2，e3，再用公式计算各变量x1，x2，…，x9在主成分z1，z2，z3上的载荷（表4）。表4主成分载荷①第一主成分z1与x1，x5，x6，x7

8、，x9呈显出较强的正相关，与x3呈显出较强的负相关，而这几个变量则综合反映了生态经济结构状况，因此可以认为第一主成分z1是生态经济结构的代表。②第二主成分z2与x2，x4，x5呈显出较强的正相