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《2015年数学理高考课件6-7 数学归纳法.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、[最新考纲展示]了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．第七节 数学归纳法数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．第一个值n0(n0∈N*)n＝k＋1____________________[通关方略]____________________1．数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问
2、题都能用数学归纳法证明．2．n0是命题成立的第一个正整数，并不一定所有的第一个允许值n0都是1.解析：边数最少的凸n边形是三角形．答案：C解析：验证n＝1,2,3，…知当n＝8时成立，故初始值至少应取8.答案：B3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n＋1＝2n＋2－1(n∈N*)的过程中，在验证n＝1时，左端计算所得的项为()A．1B．1＋2C．1＋2＋22D．1＋2＋22＋22解析：n＝1时，左＝1＋2＋22.答案：C解析：当n＝k时，左边＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋k)，当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)＋(k＋1＋2)＋…＋(k＋
3、1＋k＋1)＝(k＋2)＋(k＋3)＋…＋2k＋(2k＋1)＋(2k＋2)，所以其差为(2k＋1)＋(2k＋2)－(k＋1)＝3k＋2.答案：3k＋2用数学归纳法证明等式【例1】求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)[证明]当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；假设当n＝k时等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2
4、k＋2)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)，这就是说当n＝k＋1时等式也成立．综上可知原等式对于任意正整数n都成立．反思总结利用数学归纳法证明恒等式时应注意的问题在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明n＝k＋1时要用上n＝k时的假设，其次要明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时，命题形式之间的区别和联系，化异为同．中间的计算过程千万不能省略．变式训练1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n
5、＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是()A．2k＋2B．2k＋3C．2k＋1D．(2k＋2)＋(2k＋3)解析：当n＝k时，左边共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．答案：D证明不等式反思总结应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采
6、用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明．归纳猜想证明【例3】(2014年北京海淀模拟)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．反思总结“归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．变式训练2．将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(
7、4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．S1＝1，S2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，解析：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝4
8、4.猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等
