（吴享平）从一题错解到一题多解.doc

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1、３２－３４　　　　　　　　数学通讯－－2012年第３期（上半月）　　　　　　　。辅教导学。　　从一题错解到一题多解－－－谈解题思维的“展联变迁移”吴享平　　福建省厦门第一中学　　３６１０００　xyx=-1y=tO2图1-3ab在一次高三月考中有如下一道考题，题目：已知函数f（x）＝｜｜，若a

2、将式代入得又∵由可得，于是，令y=a+b,则yu＝，关于y的抛物线开口朝上，对称轴为y=-2,所以u＝在区间上递减，代入端点值可得，即的取值范围为（－2，1）.以上解法，初步看起来几乎无懈可击，实质上是错误的，原因何在呢？事实上，只要我们认真分析不难发现，以上解法错误的根源在“又∵”这一步，因为，该题的两个变量a，b不是“自由变量”，而是“相互控制，互相牵扯”的两个变量,如b=－2时，a的值由完全确定（即a=）,而a无法在区间上自由取值，同样，当a取定一个值时，b的值也被完全确定，所以，以上解法所得的范围比正确范围更大，结果是

3、错的。二、扣住错因，“展”开探究，获得正确解法5主管：　中华人民共和国教育部　　　主办：　华中师范大学　　.湖北省数学学会.　　武汉数学学会　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３２－３４　　　　　　　　数学通讯－－2012年第３期（上半月）　　　　　　　。辅教导学。　　由以上解法过程可知，只要能回避a,b两变量的这一相互控制关系而求得a+b的正确范围，就可获得正确结果，受此启发，展开探究，我们可以得出如下一种正确解法[解1].令f(a)=f(b)

4、＝t,（由图1得，），即，，又由此可解得：，，由，令y=a+b,则yu＝，关于y的抛物线开口朝上，对称轴为y=－2,所以u＝在区间上递减，代入端点值可得，即的取值范围为（－1，1）.解法1.把f(a)=f(b)令成t，巧妙地将变量a,b的变化统一为t的变化，回避了变量a与b之间的“相互控制，互相牵扯”，从而获得正确结果。以上解法把思维锁定在先求a+b的范围，再求ab+a+b的范围上，固而，解法过程显得呆滞和古板。若能进一步打开思维，展开联想，我们不难得到如下一系列解法。二、“联”想图形，借形引路，获得快速解法我们认真观察图形（

5、如图1）知，f(a)=f(b)=t,当t从0变大到2的过程中，b与a的距离(即b-a)就会从0逐渐变大到2（即－1－（－3）），于是，可以很直观地得到，受此启发，不难想到：若能将ab+a+b用b-a来表示，那么问题便可迅速获解。[解法2]:由图1可得，又由式得，所以很快便知。三、“变”通思维，整体出发，获得巧妙解法如果能变通思维，通过等式把a,b中的一个用另外一个来表示，再代入u=ab+a+b,从而转化为一元变量的函数，这样也就避免了两个变元的牵扯，转化为求一元变量的函数值域问题了，由此联想，可得如下解法[解3]：由得：，又由

6、得：5主管：　中华人民共和国教育部　　　主办：　华中师范大学　　.湖北省数学学会.　　武汉数学学会　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３２－３４　　　　　　　　数学通讯－－2012年第３期（上半月）　　　　　　　。辅教导学。　　即的取值范围为（－1，1）.我们经常会发现许多双变元问题，均可考虑利用条件等式转化为单变元问题，注意到变量的取值范围，便可巧妙地将问题得以解决，这种思想方法是解决多变元问题的常规思想方法，受“双元化单元”思想的指引，联想到

7、上面[解1]的代换策略，很快可将双变元a,b统一用单变元t来表示，于是不难得到如下解法[解4]:由得：，令f(a)=f(b)=t,则0

8、+b,则b=-a+y表示与直线b=-a平行的直线系，由线性规划得，以下同[解1]，略。由④式“迁”动思维，联想到同角三角函数的基本关系式“”，于是可得如下（三角代换）解法[解6]：由④式可设，又于是可让，由，所以ab+a+b的取值范围是（－1，1）.由④式“迁”动思维，联想到