递归最小乘（RLS）自适应均衡算法.doc

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1、第三章递归最小二乘(RLS)自适应均衡算法§3.1引言在自适应滤波系统中，最陡梯度(LMS)法由于其简单获得了广泛的应用。但各种LMS算法均有收敛速度较慢(收敛所需码元数多)，对非平稳信号的适应性差(且其中有些调整延时较大)的缺点。究其原因主要是LMS算法只是用以各时刻的抽头参量等作该时刻数据块估计时平方误差均最小的准则，而未用现时刻的抽头参量等来对以往各时刻的数据块均作重新估计后的累积平方误差最小的原则(即所谓的最小平方(LS)准则)。为了克服收敛速度慢，信号非平稳适应性差的缺点，根据上述内容，可采用新的准则，即在每时刻对所有已输入信号而言重估的平方误差和最

2、小的准则(即LS准则)。从物理概念上可见，这是个在现有的约束条件下利用了最多可利用信息的准则，即在一定意义上最有效，信号非平稳的适应性能也应最好的准则。这样建立起来的迭代方法就是递归最小二乘(RLS：RecursiveLeastSquare)算法，又称为广义Kalman自适应算法。用矩阵的形式表示RLS算法非常方便，因此我们首先定义一些向量和矩阵。假定在时刻，均衡器的输入信号为，线性均衡器对于信息符号的估计可以表示为式(3-1)让的下标从到，同时定义，则变为式(3-2)其中和分别为均衡器系数，和输入信号，的列向量。类似的，在DFE均衡器结构中，均衡器系数，的前

3、个系数为前向滤波器系数，剩下的为反馈滤波器系数。用来预测的数据为，其中为判决器先前作出判决的数据。这里，我们忽略判决器判错的情况，因而。同时为方便起见定义式(3-3)因此式(3-4)§3.2RLS自适应算法RLS算法对于的估计可以从下面的式子得到。假定我们的观测向量为，，我们期望得到均衡器的系数向量使得均方误差的加权平方和式(3-5)最小。其中误差定义为式(3-6)代表遗忘因子，。这样我们对过去的数据引入了一个指数权，这对于信道特性为时变的情况非常合适。关于权向量的最小化便得到下面的线性方程式(3-7)其中为信号的自相关矩阵，定义为式(3-8)为互相关向量式(

4、3-9)式(3-7)的解为著名的Wiener－Hopf方程式(3-10)为了避免复杂的求逆运算，引入一矩阵式(3-11)由式(3-8)有式(3-12)又由矩阵求逆引理有：式(3-13)在上式中定义，令式(3-14)式(3-15)为一标量，为一维矢量，称为Kalman增益向量。则式(3-16)假定我们在式(3-16)两边右乘以，式(3-17)因此，Kalman增益向量可以被定义为。由于式(3-18)我们得到式(3-19)为均衡器在时刻的输出，也就是式(3-20)而式(3-21)为期望信号与估计信号之间的误差。因此，可以根据下式来递推更新式(3-22)式(3-22

5、)表明：时刻最佳的值可由时刻的最佳值加一修正量得到。这就是递推最小二乘算法或Kalman算法。将上述在推导过程中出现的各式予以整理，可得到正规RLS算法的计算步骤。由于此算法为迭代型，故应在已得迭代式组外，还注意在计算的初始部分设置合理的初始值组。根据经验设定则一般可得到较快的收敛效果。由于矩阵类似于统计自相关矩阵，而向量近似于互相关向量。应该注意到不是一个Toeplitz矩阵，对于较小的，可能处于病态条件；因而通常初始时需要在上加上一个，为一个的正常数，为单位阵。由于对于过去的信号引入了指数权，加上的作用将随着时间增加而减弱。正规RLS算法的计算步骤如下：步

6、骤1：初始化：令，式(3-23)(一般取1的正数)，式(3-24)步骤2：更新式(3-25)式(3-26)式(3-27)式(3-28)式(3-29)在一次迭代当中，正规RLS算法所需的计算量为乘法次，除法1次，加(减)法次。我们看到均衡器系数随时间的变化量等于预测误差乘以Kalman增益向量。由于为N维，的每一个元素有效地控制着均衡器每一个系数，因而能够得到快速的收敛性质。相反，最陡梯度算法(steepest-descentalgorithm)均衡器系数的更新可表示为式(3-30)唯一变化的参数为步长。图3.1给出了这两个算法初始收敛速度的比较，信道选自[3]

7、,具有固定参数，，。信道的特征值为。均衡器的所有系数在初始迭代时置为0。最陡梯度算法的步长选为。与最陡梯度算法相比RLS算法具有较快的跟踪性能和收敛性能。这对于时变信道来说极为重要。例如，短波(HF)信道变化非常快，用梯度算法无法对信号进行均衡。而Kalman算法就能够足够快地跟踪这种变化。图3.1Kalman算法与梯度算法性能比较§3.3几种改进型快速跟踪的RLS算法§3.3.1指数遗忘的加窗RLS算法和Reset-RLS算法RLS算法广泛的应用于自适应滤波，系统辨识与信号预测。该算法只有在方程误差为0均值的高斯白噪声以及系统模型非时变时才能保证渐进趋于真值

8、。该算法的另一个显著特点是，为了减小预