新高一数学补习资料第14讲-函数的奇偶性与单调性.doc

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1、主题函数的奇偶性与单调性教学内容1.掌握函数奇偶性和单调性的关系；2.能应用函数的奇偶性和单调性解决综合题目。我们在研究函数奇偶性的时候，分析过以下两组函数图像（一）（二）通过函数图像，你发现他们对称区间上的单调性是怎样的？试着证明你的结论。我们发现偶函数在对称区间上，它们的单调性相反，奇函数在对称区间上，它们的单调性相同。证明：假设一个偶函数在上单调递增，任取，则，由单调性可得：，由偶函数可得：所以，所以当时是减函数5（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1.如果函数f(x)在R上为奇函数，在[－1，0)上是增函数，试比较f(),f()

2、,f(1)的大小关系.由题意，函数在区间上是增函数，于是试一试：定义在R上的奇函数在（0，+∞）上是增函数，又，则不等式的解集为（A）A．（－3，0）∪（0，3）B．（－∞，－3）∪（3，+∞）C．（－3，0）∪（3，+∞）D．（－∞，－3）∪（0，3）例2.已知函数且，求的值解：令，则为奇函数，试一试：若，都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，则在（－∞，0）上有（　　）A．最小值－5　　B．最大值－5C．最小值－1　　　D．最大值－3答案：C．例3.已知定义在R上的函数对任意实数、，恒有，且当时，，（1）求证：为奇函数；（2）求证：

3、在R上是减函数；证明：（1）证明：令，可得，从而，f(0)=0．令，可得，即，故为奇函数．（2）证明：设∈R，且，则，于是．从而所以，为减函数．这里学生首次接触抽象函数，教师可以简单总结一下抽象函数的解题方法，通过赋值求出特殊点（一般是0,或1），再通过构造的形式证明单调性或奇偶性.试一试：已知函数f(x)对一切x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，5(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(-3)=a，用a表示f(12)．解答：例4.已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m

4、的取值范围．解析：∵f(x)在(－2，2)上是减函数∴由f(m－1)－f(1－2m)＞0，得f(m－1)＞f(1－2m)∴解得，∴m的取值范围是(－)试一试：f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f()=f(x)－f(y)（1）求f(1)的值．（2）若f(6)=1，解不等式f(x＋3)－f()＜2．解析：①在等式中，则f(1)=0．②在等式中令x=36，y=6则故原不等式为：即f[x(x＋3)]＜f(36)，又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：5（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）1.f(x)是定义在[－

5、6,6]上的偶函数，且f(3)>f(1)，则下列各式一定成立的是(　　)CA．f(0)f(2)C．f(－1)f(0)2.已知函数且，求的值答案：13.若奇函数是定义在（，1）上的增函数，试解关于的不等式：．解：由已知得因f(x)是奇函数，故，于是．又是定义在（1，1）上的增函数，从而即不等式的解集是．4.设是定义在上的增函数，，且，求满足不等式的的取值范围.解:由题意可知:又，于是不等式可化为因为函数在上为增函数,所以不等式可转化为：,解得：所以的取值范围是.本节课主要知识点：在对称区间上，

6、函数单调性与奇偶性的关系，抽象函数的解题方法5【巩固练习】1.设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．答案：2.已知函数是奇函数，又，，，求、、的值.解：由得∴c=0.又，得，而，得，解得.又，∴或.若，则b=，应舍去； 若，则b=1∈Z.∴.【预习思考】求在上的值域？在上的值域？5