新高一数学补习资料第18讲-幂函数的图像与性质.doc

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1、主题幂函数的图像与性质教学内容1.了解幂函数的概念；2.掌握常见幂函数的图像与性质。（以提问的形式回顾）观察下列函数，它们的关系式有什么共同特点？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.都是以自变量为底数，指数为常数，自变量前的系数为1，只有一项。由此，引入幂函数的定义.幂函数的定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，k是常数，且；这里要注意强调系数是1和指数是有理数。判断：下列各式中表示幂函数的有（）A、B、C、D、E、F、G、答案：CEF思考：研究函数的性质可以从哪些方面考虑？我们上一章讲了函数的哪些基本性质？（回顾第三章的内容—

2、—函数的性质，考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值、图像）下面我们进入精讲提升，来看一下幂函数的这些性质。（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1.研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出函数的图像8/8解：函数的定义域为，值域为。（1）奇偶性。因为函数的定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶的函数。（2）单调性。对任意，且可得则即所以函数在上为减函数。由以上几点分析函数的图像的性质：由，可知函数的图像只在第一象限；由函数非奇非偶，可知图像不对称；由函数是减函数，可知y随x的增大而减小。描点作图：试一试：仿照例1研究下列函数的

3、定义域和奇偶性，观察它们在第一象限的图像看有什么共同点？　　（1）y＝x－1；（2）y＝x－2；（3）y＝．先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式，函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；（1）（2）的定义域都是{x

4、x≠0}，（3）的定义域是（0，＋）；（1）是奇函数，（2）是偶函数，（3）既不是奇函数也不是偶函数．它们的图像都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减，都类似于反比例函数图像的趋势。小结：研究函数图像的基本步骤（方法）8/81、由定义域、值域判断函数在坐标系中的位置。2、由单调性判断图像的变化趋势。

5、3、由奇偶性判断函数图像是否对称。例2.指出的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出它的图像。解：定义域为R，值域为（1）奇偶性。对任意，满足，使得所以该函数是偶函数。（2）单调性。对任意，且所以，故有即所以在上为增函数。同理可得在上为增减数。描点作图：仿照例2研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们在第一象限的图像看有什么共同点？　（1）y＝；（2）y＝；（3）y＝；（1）定义域为［0，＋），（2）（3）定义域都是R；其中（1）既不是奇函数也不是偶函数，（2）是奇函数，（3）是偶函数．它们的图像都经过点（0，0）和（1，1），且在第一象限内函数单

6、调递增．都类似于y＝8/8的函数图像的趋势。例3.指出函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出它的大致图像。定义域：R值域：R奇偶性：奇单调性：增函数试一试：仿照例3研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们在第一象限的图像看有什么共同点？（1）（2）（3）（1）（2）定义域都是R，（3）定义域为［0，＋）；其中（1）是奇函数，（2）是偶函数，（3）既不是奇函数也不是偶函数.它们的图像都经过点（0，0）和（1，1），且在第一象限内函数单调递增．都类似于的函数图像的趋势。幂函数总结：8/8例4.已知幂函数在区间上是减函数，求的最大负整数值.解：由在

7、上是减函数且是整数，知且为偶数，故的最大负整数值为.试一试：已知幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数，求的值，并写出相应的函数．解：因为在是增函数，所以，即，解得，所以0、1、2.当0时，不是偶函数，故0舍去；当1时，是偶函数，故1符合题意；当2时，不是偶函数，故2舍去.综上1，.（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）比较大小：1.已知函数（1）；（2）；（3）；（4），写出分别具下列性质的函数①图像与轴有交点的：；②图像关于原点对称的：；③定义域内单调递减的：；④在定义域内有反函数的：.解：②④③无①②③2.幂函数的图像与坐标

8、轴无公共点且是偶函数，则的是．解：因为与坐标轴无公共点，所以，8/8又是偶函数，因此是偶数，所以3.比较下列各组中两个数的大小：　　（1），；（2）0.71.5，0.61.5；（3），．　　解析：（1）考查幂函数y＝的单调性，在第一象限内函数单调递增，　　∵1.5＜1.7，∴＜，　　（2）考查幂函数y＝的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．　　（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，　　∵＝，＝，又＞，　　∴＞．4.已知满足．（1）求的值；（2）是否存在正数，使的值域为？为若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.解：（1）由且，知在上

9、单调递增，故，因此或0；（2），，对称轴为，则，得，与矛盾，所以不存在.提高练习：1、作函数的图像，并根据函数图像讨论方程，的实根个数。8/81、讨论