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《向量法解二面角例题与练习题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§向量法求二面角例1（2010江西卷20）如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，.（1）求直线与平面所成的角的大小；（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值.练习：1..若二面角的两个半平面的法向量分别为和，则这个二面角的余弦值是（）A.0B.C.D.2.（2011年全国新课标）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。课后作业：1..如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面ABCD为边长是1的正
2、方形，PA＝1，求平面PCD与平面PAB夹角的大小为____________．2.如图，正方体的棱长为1，，求：(1)与所成的角；(2)与平面所成角的正切值；(3)平面与平面所成的角．4.(2011·辽宁)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)求二面角QBPC的余弦值．5.(2012·天津改编)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)证明：PC⊥AD；(2)求二面角A-PC-D的正弦值．
3、6.7..正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B(如图②)．在图②中求平面ABD与平面EFD所成二面角．8.如图，三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB.（1）求证：AB⊥平面PCB；（2）求异面直线AP与BC所成角的大小；
（3）求二面角C—PA—B的大小.(2012·天津改编)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)证明：
4、PC⊥AD；(2)求二面角A-PC-D的正弦值．[审题视点]建立空间坐标系，应用向量法求解．解 如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B－，，0，P(0,0,2)．(1)证明：易得＝(0,1，－2)，＝(2,0,0)．于是·＝0，所以PC⊥AD.(2)＝(0,1，－2)，＝(2，－1,0)．设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，则即不妨令z＝1，可得n＝(1,2,1)．可取平面PAC的法向量m＝(1,0,0)．于是cos〈m，n〉＝＝＝.从而sin〈m，n〉＝.所以二面角APCD的正弦值为
5、.23.如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3.点E在棱PA上，且PE＝2EA.(1)求证：PC∥平面EBD；(2)求平面PCD与平面PAB所成的角的大小(用反三角函数表示)．课后作业:4.5.6.(2010·安徽·理，18)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求二面角B－DE－C的大小7.8.(2
6、012·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.(1)求证：BD⊥平面AED；(2)求二面角FBDC的余弦值．〖例〗如图，三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB.
（1）求证：AB⊥平面PCB；（2）求异面直线AP与BC所成角的大小；
（3）求二面角C—PA—B的大小.〖解〗解：（1）∵PC⊥平面ABC，AB平面ABC，∴PC⊥AB∵CD⊥平面PAB，AB平面PAB，∴OC⊥AB又PCCD=C，∴A
7、B平面PCB（2）由（1）AB⊥平面PCB，∵PC=AC=2，又∵AB=BC，可求得BC=以B为原点，建立如图所示的坐标系.则A（0，，0），B（0，0，0），C（，0，0），P（，0，2）。则∴异面直线AP与BC所成的角为（3）设平面PAB的法向量为则即解得令z=－1，得设平面PAC的法向量为则解得令【防范措施】正确判断法向量的方向，同指向二面角内或外则向量夹角与二面角互补，一个指向内另一个指向外则相等．【示例】►(2011·辽宁)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；(2
8、)求二面角QBPC的余弦值．实录 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长度，射线DA为x轴
