2015高考数学（理）一轮复习配套文档：第8章 第9节　圆锥曲线的综合问题.doc

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1、第九节　圆锥曲线的综合问题【考纲下载】1．掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2．了解圆锥曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想．1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C

2、相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

3、AB

4、＝

5、x1－x2

6、＝·＝·

7、y1－y2

8、＝·.直线与圆锥曲线只有一个公共点时，是否是直线与圆锥曲线相切？提示：直线与圆锥曲线只有一个公共点时，未必一定相

9、切，还有其他情况，如抛物线与平行或重合于其对称轴的直线，双曲线与平行于其渐近线的直线，它们都只有一个公共点，但不是相切，而是相交．1．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于(　　)A.B.C.D．4解析：选C　由消去y得ax2－x＋1＝0，所以解得a＝.2．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(　　)A．1B．2C．1或2D．0解析：选A　因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．3．设抛物线x2＝4y的焦点为F，经过点P(1,5)的直线l与抛物线相交于A，B两点

10、，且点P恰为线段AB的中点，则

11、AF

12、＋

13、BF

14、＝________.解析：A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝10，由抛物线定义得

15、AF

16、＋

17、BF

18、＝y1＋y2＋p＝10＋2＝12.答案：124．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围是________．解析：直线y＝kx＋1过定点(0,1)，由题意，点(0,1)在椭圆内或椭圆上．则m≥1，且m≠5.答案：m≥1且m≠55．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．解

19、析：由c＝＝1，知椭圆右焦点为(1,0)，则直线方程为y＝2(x－1)，联立方程得解得x1＝0，x2＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝－2，y2＝.∴S△＝×1×

20、y1－y2

21、＝×1×＝.答案：压轴大题巧突破(二)直线与圆锥曲线的综合应用[典例]　(2013·湖北高考)(13分)如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m,2n(m＞n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.记λ＝，△BDM和△ABN的面积分

22、别为S1和S2.(1)当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2？并说明理由．[化整为零破难题]　(1)基础问题1：椭圆C1、C2的标准方程各是什么？C1：＋＝1，C2：＋＝1，其中a>m>n>0.基础问题2：直线l与y轴重合时S1，S2各等于什么？S1＝

23、BD

24、

25、OM

26、＝a

27、BD

28、，S2＝

29、AB

30、

31、ON

32、＝a

33、AB

34、.基础问题3：

35、BD

36、，

37、AB

38、各等于何值？

39、BD

40、＝m＋n，

41、AB

42、＝m－n.(2)基础问题1：设直线l为y＝kx，则M、N到

43、直线l的距离各是多少？M到l的距离d1＝，N到l的距离d2＝.基础问题2：S1、S2各等于什么？等于什么？S1＝

44、BD

45、d1，S2＝

46、AB

47、d2，＝.基础问题3：与xA、xB有何关系？＝＝λ.基础问题4：如何用xA、xB、a、m、λ来表示k2?A(xA，kxA)、B(xB，kxB)分别在C1、C2上，所以＋＝1，＋＝1，∴＋＝0，依题意得xA>xB>0，所以x>x，所以k2＝.基础问题5：如何求λ的取值？由k2>0，得>0，解得1<<λ，由＝λ，＝，即1<<λ，得λ>1＋.[规范解答不失分]　依题意可设椭圆C1和C

48、2的方程分别为C1：＋＝1，C2：＋＝1.其中a＞m＞n＞0，λ＝＞1.1分(1)如图1，若直线l与y轴重合，则

49、BD

50、＝

51、OB

52、＋

53、OD

54、＝m＋n，

55、AB

56、＝

57、OA

58、－

59、OB

60、＝m－n；S1＝

61、BD

62、·

63、OM

64、＝a

65、BD

66、，S2＝

67、AB

68、·

69、ON

70、＝a

71、AB

72、.所以＝＝＝，3分若＝λ，则＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0，由λ＞1，可解得λ＝＋1.故当直线l与