2013年冲刺班教案-综合应用及证明.doc

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1、综合应用及证明前言在历年的试题中除去前面十二题选择和填空题以及八题计算题，一般都有四题比较综合的解答题和证明题，分值一共是38分。这些题的正确解答与否将直接关系到高数能否取得高分。从试题的计算量上来看，这部分题目的计算量其实都不大，关键是对基础知识的综合运用能力的考查。经过分析，我们不难发现这四道题中还是有比较固定的格式，起码我们可以知道有三类题是历年来必考的。第一类是对导数应用的考查（极值、最值及凸凹等），第二类是定积分应用的考查（围成的面积及旋转体的体积），第三类是不等式证明。除了上述三类，一般还会有题证明题，多是等式证明（积分等式证明或二重积分等式证明），当然也可能是一

2、道综合性更强的题目，全面考查对微积分中函数连续、可导、积分以及微分方程等相关知识的彼此间的联系。对于固定格式类型的题目我们必须做到熟练掌握解题方法和步骤，剩下的类型只能依靠同学们在平时学习中积累的经验和技巧，其实做到这点并不难，归根溯源，只要我们对基本概念深刻理解和掌握，无论题目怎么变化都可以应付自如。下面我们将这部分内容大致分为六个方面逐一深入讨论。一、导数的应用导数的应用可以大体上分为三种题目，第一种是以求函数的极值（凸凹区间及拐点）为主要目的的解答题；第二种是实际问题求最值，也就是我们通常意义上的“应用题”，一般都需要设未知数，建立目标函数，但是这种题只是在05年之前出

3、现过，近几年没有出现；第三种是结合其它类型的题目，如定积分的应用等等，一般是在题目中出现待定参数，为了达到某种量（距离、长度、面积以及体积等等）最大或最小。另外利用导数的几何意义（切线的斜率）也是可能出现的。当然，导数的应用也可以出现在选择题或填空题中，仅单独考查某个函数的单调区间、极大值或极小值、凸凹区间、拐点以及渐近线等等。求函数的单调区间及极值问题是同学们在高中就学过的内容，函数的凸凹及拐点只是借助了二阶导数信息，对这些基本方法的掌握留给同门们自己复习，我们下面提几点解题时的注意事项和技巧。1.以求函数的极值（凸凹区间及拐点）为主要目的的解答题定义域，单调区间，不可导点

4、，列表，第一充分条件，第二充分条件，凸凹及挂点最值逆向判定反求参数问题2.实际问题或其它类型求最值设未知数，建立目标函数，一阶导数，驻点（只有一个），第二充分条件，极值，单峰原理，最值3.导数的几何意义导数的几何意义我们都知道是曲线在某点处切线的斜率，即，在历年试题中有关曲线的切线构成的综合题还是经常出现的。下面我们详细讨论其中不同的情形。①求曲线在某点处的切线方程切线首先是直线，所以我们一般采用的是直线方程的“点斜式”，即。此类型题可以分为两小类：第一类是已知曲线的方程，即函数解析式，求在处的切线方程，这种最为简单，求出导数后直接代入点斜式公式即可；第二类是已知曲线的方程，

5、即函数解析式，但是并不告诉我们切点，而是告诉我们切线通过其它的点，当然该点不在曲线上，然后要求我们求出切线的方程。对于第二类显然并第一类要复杂一些，采用的方法一般有两种，一种是假设切点坐标就是，这里我们要把它们看成是常数，得到切线的斜率为，然后再利用求导得到，这两个是同一个，所以有，解这个关于的方程就可以得出具体的的值了，接下来就回到了第一类的那种情形，便可以求出切线的方程了。另外一种方法是假设切线的斜率为，已知点虽然不在曲线上，但是也是切线上的点，从而可以利用点斜式求出切线方程，当然此时是待定的参数，然后我们再利用曲线和切线只有一个交点这一特性，把切线方程和曲线方程联合成一

6、个方程组，于是这个方程组的解一定是唯一的，把其中一个方程代入到另一个方程中，利用求出参数即可。相比较而言，虽然第二种方法比较简单，求出后直接就能写出切线的方程，也容易掌握，但是这种方法还是具有很大的局限性的，毕竟只有一元二次方程才具有所谓的“”，因此第一种方法是比较常规的方法。②结合切线做其它相关的运算比如截距，与其它曲线围成的封闭图形的面积或旋转体体积，或是给出任意点处切线的斜率，从而建立微分方程求解③分清常量和变量很多时候我们需要设一些未知数来求解为题，但是虽然是未知的，在建立有关的等式中，又要把他们看作是已知的，这一点要区别开来。4.历年试题讲解(2001年)21、过作

7、抛物线的切线，求（1）切线方程；（2）由抛物线、切线、以及轴所围平面图形的面积；（3）该平面分别绕轴、轴旋转一周的体积。解：（1）；（2）；（3），(2001年)24、一租赁公司有40套设备要出租。当租金每月每套200元时，该设备可以全部租出；当租金每月每套增加10元时，租出的设备就会减少1套；而对于租出的设备，每月需要花20元的维持费。问租金定位多少时，该公司可获最大利润？解：设每月每套租金为，则租出设备的总数为，每月的毛收入为：，维护成本为：.于是利润为：比较、、处的利润值，可得，故租金为元时利润最