2019年高考数学总复习检测第52讲　空间角及其计算.pdf

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1、第52讲　空间角及其计算1．在正方体ABCDA1B1C1D1中，BC1与平面BDD1B1所成的角为(A)A．30°B．45°C．60°D．90°取B1D1的中点E，连接C1E，BE，因为C1E⊥平面BDD1B1，所以∠C1BE即为所求角θ.221因为sinθ＝＝，所以θ＝30°，选A.222．正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为(B)A．3B．6C．9D．18棱锥的底面对角线长为2×23cos60°＝23，高为23sin60°＝3，设底面边长为a，则2a＝23，所以a＝6，所以底面面积为a2＝6，1所以其体积V＝×6×

2、3＝6，所以选B.33．已知二面角αlβ的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为(B)A．30°B．60°C．90°D．120°ππ4．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与平面α、β所成的角分别为和.过A、B46分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，若AB＝12，则A′B′＝(B)A.4B．6C．8D．9π连接AB′，设AB＝a，可得AB与平面α所成的角为∠BAB′＝，在Rt△BAB′42中，有AB′＝a.2π同理可得AB与平面β所成的角为∠ABA′＝，61所以A′A＝a.2211因此在Rt△AA′B′中，A

3、′B′＝a2－a2＝a，222因为AB＝12，所以A′B′＝6，故选B.5．长为2a的线段AB在平面α内的射影线段A1B1的长为a，则直线AB与平面α所成的角的大小为60°.a1设直线AB与平面α所成的角为θ，则cosθ＝＝，则θ＝60°.2a236．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于.6如图，O为底面正△ABC的中心，则OP⊥平面ABC，∠PCO即为所求角，设AB＝1，3则PC＝2，OC＝，3OC3所以cos∠PCO＝＝.PC67．(2017·天津卷)如图，在四棱锥PABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC

4、，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD⊥平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．(1)如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝AD2＋PD2＝5，AD5故cos∠DAP＝＝.AP55所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为.5(2)证明：由(1)知AD⊥PD.又因为BC∥AD，所以PD⊥BC.又PD⊥PB，PB∩BC＝B，所以PD⊥平面P

5、BC.(3)过点D作DF∥AB，交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，所以PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，所以BC⊥DC.在Rt△DCF中，可得DF＝CD2＋CF2＝25，PD5在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝＝.DF55所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.58．(2014·新课程卷Ⅱ)直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分

6、别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为(C)12A.B.105302C.D.102取BC的中点D，连接MN，ND，AD，1由于MN綊B1C1綊BD，因此ND綊BM，2则ND与NA所成的角即为异面直线BM与AN所成的角．设BC＝2，则BM＝ND＝6，AN＝5，AD＝5，ND2＋NA2－AD230因此，cos∠AND＝＝.2ND·NA109．已知正四面体ABCD的棱长为a.3(1)AC与平面BCD所成角的余弦值为；31(2)二面角ABDC的平面角的余弦值为.3设A在底面BCD上的射影为O，连接OA，连接OC并延长

7、与BD相交于E，连接AE.(1)因为AO⊥平面BCD，所以∠ACO就是AC与平面BCD所成的角．因为△BCD是正三角形，所以O是△BCD的中心．233在Rt△AOC中，OC＝×a＝a，323OC3所以cos∠ACO＝＝.AC33所以AC与平面BCD所成角的余弦值为.3(2)因为四面体ABCD为正四面体，所以△BCD和△ABD都为正三角形，所以OE⊥BD且AE⊥BD，所以∠AEO为二面角ABDC的平面角，133a3所以OE＝×a＝，AE＝a，3262OE1所以cos∠AEO＝＝.AE31所以二面角ABDC的平面角的余弦值为.310．如图，已知菱形ABC

8、D的边长为a，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，且PC＝a，E为PA的中点．(1)求证：平面BED⊥平面