高考数学二轮专题训练：专题二 第3讲 导数及其应用.pdf

《高考数学二轮专题训练：专题二 第3讲 导数及其应用.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第3讲　导数及其应用考情解读　1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用函数的单调性和最值确定函数的解析式或参数的值，突出考查导数的工具性作用．1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)

2、＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性．3．函数的极值与最值(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．4．定积分的三个公式与一个定理(1)定积分的性质：①ʃbakf(x)dx＝kʃbaf(x)dx；②ʃba[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃbaf1(x)dx±ʃbaf2(x)dx；③ʃbaf(x)dx＝ʃacf(x

3、)dx＋ʃbcf(x)dx(其中a0)与曲线C2：x2＋y2＝的一个公2共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数a的值是________．思维启迪　(1)先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，再

4、化为一般式方程．(2)A点坐标是解题的关键点，列方程求出．答案　(1)5x＋y－3＝0(2)4解析　(1)因为y′＝e－5x(－5x)′＝－5e－5x，所以y′

5、x＝0＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，即5x＋y－3＝0.1(2)设A(x，y)，则C在A处的切线的斜率为f′(x)＝3ax20，C在A处的切线的斜率为－＝00102kOAx0－，y0又C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，x0所以(－)·3a20＝－1，即y＝3ax30，y003又ax30＝y－1，所以y＝，00251代入C2：x2＋y2＝，得x0＝±，2213将x0＝±，y0＝代入y＝

6、ax3＋1(a>0)，得a＝4.22思维升华　(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．ππ(1)已知函数y＝f(x)的导函数为f′(x)且f(x)＝x2f′()＋sinx，则f′()＝________.33π(2)若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝处的切

7、线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于2________．3答案　(1)(2)26－4πππ解析　(1)因为f(x)＝x2f′()＋sinx，所以f′(x)＝2xf′()＋cosx．33πππππ3所以f′()＝2×f′()＋cos.所以f′()＝.333336－4ππ(2)f′(x)＝sinx＋xcosx，f′()＝1，2π即函数f(x)＝xsinx＋1在点x＝处的切线的斜率是1，2a直线ax＋2y＋1＝0的斜率是－，2a所以(－)×1＝－1，解得a＝2.2热点二　利用导数研究函数的性质例2　已知函数f(x)＝(x＋a)ex，其中e是自然对数的底数，a∈

8、R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[0,4]时，求函数f(x)的最小值．思维启迪　(1)直接求f′(x)，利用f′(x)的符号确定单调区间；(2)讨论区间[0,4]和所得单调区间的关系，一般情况下，f(x)的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到．解　(1)因为f(x)＝(x＋a)ex，x∈R，所以f′(x)＝(x＋a＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝－a－1.当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下：x(－∞，－a－1)－a－1(－a－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)故f(x)的单调减区间为(－∞，－a－1)；单调增区间为(－a－1，＋