高三数学总复习学案39.pdf

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1、学案39　数学归纳法导学目标：1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．自主梳理1．归纳法由一系列有限的特殊事例得出________的推理方法叫归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为____归纳法和________归纳法．2．数学归纳法设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题________(或________)成立；(2)在假设______成立的前提下，推出________也成立，那么可以断定{Pn}对一切正整数成立．3．数学归纳法证题的步骤(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值__________时命题成立．(2

2、)(归纳递推)假设______________________________时命题成立，证明当________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．自我检测1－an＋21．用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)”在验证n＝1时，左端1－a计算所得的项为()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a32．如果命题P(n)对于n＝k(k∈N*)时成立，则它对n＝k＋2也成立，又若P(n)对于n＝2时成立，则下列结论正确的是()A．P(n)对所有正整数n成立B．P(n)对所有正偶数n成立C．P(n)对所有正奇数n成立

3、D．P(n)对所有大于1的正整数n成立n＋211113．(2011·台州月考)证明<1＋＋＋＋…＋1)，当n＝2时，中间式子等22342n于()1A．1B．1＋211111C．1＋＋D．1＋＋＋232344．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n>n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2B．3C．5D．65．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3探究点一　用数学归纳法证明等式例1　对于n

4、∈N*，用数学归纳法证明：11·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝n(n＋1)(n＋2)．6变式迁移1(2011·金华月考)用数学归纳法证明：11111111对任意的n∈N*,1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.2342n－12nn＋1n＋22n探究点二　用数学归纳法证明不等式111例2　用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式(1＋1＋…1＋>3)(5)(2n－1)2n＋1均成立．2变式迁移2　已知m为正整数，用数学归纳法证明：当x>－1时，(1＋x)m≥1＋mx.探究点三　用数学归纳法证明整除问题例3　用数学归纳法证明：当n∈N*时，an＋1＋(a＋1)

5、2n－1能被a2＋a＋1整除．变式迁移3　用数学归纳法证明：当n为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．从特殊到一般的思想例(14分)已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2、a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，1数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－bn.2(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；1(2)设数列{an}的前n项和为Sn，试比较与nSn＋1的大小，并说明理由．b【答题模板】解　(1)由已知得Error!，又∵{an}的公差大于0，a5－a29－3∴a5>a2，∴a2＝3，a5＝9.∴d＝＝＝2，a1＝1，33∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－

6、1.[2分]121∵Tn＝1－bn，∴b1＝，当n≥2时，Tn－1＝1－bn－1，23211∴bn＝Tn－Tn－1＝1－bn－1－bn－1)，2(21化简，得bn＝bn－1，[4分]321∴{bn}是首项为，公比为的等比数列，33212即bn＝·n－1＝，3(3)3n2∴an＝2n－1，bn＝.[6分]3n1＋2n－113n(2)∵Sn＝n＝n2，∴Sn＋1＝(n＋1)2，＝.2bn21以下比较与Sn＋1的大小：bn131191当n＝1时，＝，S2＝4，∴

7、，＝，S5＝25，∴>S5.b32b3b42b41猜想：n≥4时，>Sn＋1.[9分]bn下面用数学归纳法证明：①当n＝4时，已证．13k②假设当n＝k(k∈N*，k≥4)时，>Sk＋1，即>(k＋1)2.[10分]bk213k＋13k那么，n＝k＋1时，＝＝3·>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－bk＋12211>[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1，∴n＝k＋1时，>Sn＋1也成立．[12分]bn1由①②