人教大纲版高考数学题库考点22 简单多面体与球.pdf

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1、考点22简单多面体与球1.（2010·四川高考理科·Ｔ11）半径为R的球O的直径AB垂直于平面，垂足为B，BCD是平面内边长为R的正三角形，线段AC,AD分别与球面交于点M，N，那么M,N两点间的球面距离是（）1718（A）Rarccos（B）Rarccos252514（C）R（D）R315【命题立意】本题考查了两点间的球面距离（即求弧长）问题，解三角形，平行线等分线段成比例的知识，考查了学生利用平面几何知识解决空间几何体问题的能力.【思路点拨】欲求M,N两点间的球面距离，根据弧长公式可知，需求MON的弧度数，进而转化为求线段MN的长度.∵题目中所给条件大多集中在B

2、CD内，故探求MN与CD的数量关系.【规范解答】选A.连结BM，∵AB为球O的直径，∴BMAC，22在RtABC中，AB2R,BCR,ACABBC5R22BC545由射影定理可得BCCMCACMR.则AMACCMR.CA55同理，连结BN,则△ABM≌△ABN,则ANAM,又ACAD,MNAM444∴MN∥CD.∴,即MNCDR.CDAC5554在三角形MON中,OM=OM=R,MNR利用余弦定理可得：5222OMONMN1717cosMON=，∴MONarccos2OMON2525,∴M,N两点间的球面距离为17Rar

3、ccos.252.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ12）已知在半径为2的球面上有A，B，C，D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为（）234383(A)(B)(C)23(D)333【命题立意】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【思路点拨】当ABCD时体积最大，选择合适的底和高，利用三棱锥体积公式求解.【规范解答】选B.方法一：当ABCD时，体积最大，如图：过CD作平面PCD，使AB平面PCD,交AB与点P,设点P到CD的距离为h,1112h则有VSAB2h2,当直径

4、通过四面体ABCDPCD33232243AB与CD的中点时,h22123,故V.maxmax3方法二：如图：当异面直线AB与CD间的距离最大，且ABCD时，四面体ABCD的体积最大，分别取AB与CD的中点E，F，222连结EF，此时球心O为线段EF的中点，则EF2OAAE22123.11143VSAB2232.ABCDECD33233．（2010·湖北高考理科·Ｔ13）圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是____cm.【命题立意】本题主要考查

5、圆柱和球的体积公式以及考生的运算求解能力．【思路点拨】圆柱形容器的容积减去圆柱内高度为8cm的水的体积即为3个球的体积和。23【规范解答】设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为r6r6r，高度为8cm的水的体2433323积为8r，3个球的体积和为3r4r，由题意6r-8r=4r解得r4.3【答案】44.（2010·江西高考文科·Ｔ１６）长方体ABCDABCD的顶点1111ADBC均在同一个球面上，ABAA1，BC2，则A，B两点间1A1D的球面距离为.1B1C1【命题立意】本题主要考查棱锥、球的基本知识，考查多面体与球体的内接问题，考查

6、球面距离问题，考查空间想象力．【思路点拨】先求体对角线长即为球的直径，再求球心角，最后由弧长公式求两点间的球面距离.222【规范解答】设球的半径为R，则2RAC11(2)2,R1.设球心为O，则12222RAB11cosAOB1，所以AOB,所求A,B两点间的球面距离为.222R21233【答案】35.（2010·上海高考理科·Ｔ１2）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去AOB,将剩余部分沿OC,OD折叠，使OA,OB重合，则以A（B）,C,D,O为顶点的四面体的体积为．【命题立意】本题考查立体几何中的折叠问题

7、和几何体体积的求法．【思路点拨】先确定折叠后的几何体的形状，再由体积公式求体积．【规范解答】折叠后的图形如图所示,∵BOOC,AOOD，∴A(B)O平面COD.∴AO为四面体A(B)COD的高，111∴VSAOODOCAO四面体A-CDOOCD3321182222222．32382【答案】3【方法技巧】折叠问题的关键是找到折叠前后，变与不变的量．一般在折线同侧的量（包括角和距离）不变，跨过折线的量要改变．6.（2010·上海高考文科·Ｔ6）已知