§2(2有理数与实数.doc

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1、§2-2有理數與實數(甲)有理數(1)自然數系N對於+´是完備的，但對於減法則有缺憾，而整數系Z對於+´-是完備的，但是整數有除不盡的缺憾，我們因缺而補，在整數系外補上一切「除不盡」的有理數，擴大成為有理數系Q，故使得有理數系中對於+-´¸是完備的。NZQ(2)有理數(Q)的形式：凡是能表成形如的數，其中a,b是整數，且b¹0。即Q={

2、a,b是整數，且b¹0}(3)有理數的性質：(a)a,b,c,d為整數，Ûad=bc(b)整數系的基本運算性質(結合律、交換律、分配律、消去律)及大小次序性質(三一律、遞移律、乘法律)在有理數中照樣成立。(c)有理數與整數的

3、差異：有理數的稠密性：若設r,s為有理數且r

4、p-q

5、³1。(4)有理數的作圖：在數線上，我們可用直尺圓規作出一有理數所對應的點。例如：在數線上作出所代表的點。[例題1]整數離散性的應用(1)設a,bZ，若

6、a-1

7、+5

8、b-3

9、=4，求a,b之值。(2)設a,b,cZ，且3

10、a-4

11、+4(b-2)2+=2，求a,b,c之值。Ans：(1)a=5或-3，b=3(2)a=4,b=2,c=3或-1[例題2](1)將化為小數。(2)將化為小數後，小數點後第2000位數字是多少？Ans：(1

12、)1.75(2)8[例題3]設數線上相異二點A,B的坐標分別為a,b，且a

13、a+1

14、+2

15、b-3

16、+

17、c+4

18、=2，求a,b,c之值。Ans：a=-1,b=3,c=-2或-6；a=-1,b=2或4,c=-4(練習2)下列何者可化為有限小數？(A)(B)(C)(D)(E)。Ans：(B)(C)(E)(練習3)設A,B,P在數線上之坐標分別為

19、-7,5,x，且，求x之值。Ans：x=-25或-(練習4)設a,b為有理數，且ab,x>y，試分別比較下列兩組數的大小：(c)承上題，如果a,b,x,y均為正實數(不一定為有理數)時，結果是否相同？Ans：(a)(b)，(c)是(練習6)一最簡分數，分子與分母之差為7，將其化為小數，並四捨五入得0.5，則此分數為何？Ans：或(乙)實數系(R)(1)的作圖：(作法)：取，以長

20、為直徑作一半圓，過C點作垂直線交半圓於D，則，即為所求。(證明)：(2)證明不為有理數。(3)有理點不能填滿數線：雖然數線上的有理點是稠密的，即兩個有理點之間有無限多個有理點存在，似乎稠密得擁擠不堪，但由(1)我們可以作出代表的點，由(2)之證明可知這個點不是有理點，換句話說，有理點並沒有將數線佔滿，數線還有留白，為了方便起見，在數線上非有理點所代表的數稱為「無理數」。即無理數所代表的點為數線上不能表示成分數的點。(4)無理數有多少？雖然是一個無理數，但是無理數並非只有一個，還有,,…,(p為質數)，…而這些無理數有無限多個，其中有些可用尺規作圖，有些則不能

21、。(5)實數系：對應數線上的點不是代表有理數，就是無理數，而有理數補上了無理數之後就稱為「實數系」。因此，每一個實數在數線上都有唯一一個點與之對應，反過來說，數線上每一個點都對應唯一一個實數。(6)實數系中的基本運算性質與有理數系同。實數的大小次序：設x,y,z均為實數，則(a)下列三式恰有一成立：x>y，x=y，x0，則xyz。(7)實數系的家譜：[例題1]證明：(1)為無理數。(2)5+為無理數。(3)為無理數。(練習

22、1)若a,b為任意無理數，c為任意有理數，則下列敘述何者是正確的？(A)a+b是無理數(B)ab是無理數(C)a+c為無理數(D)cb為無理數(E)a+b與ab至少有一是無理數。Ans：(C)(練習2)已知為無理數，試證明：(1)(2)+為無理數。(練習1)若n為任意自然數，試證明：(1)n<

23、______，=__________。(b)性質：1