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时间:2020-07-17
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1、1.已知(+)n的展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,则n等于( )A.4B.5C.6D.7解析:选C.令x=1,各项系数和为4n,二项式系数和为2n,故有=64,∴n=6.2.设f(x)=(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1,则f(x)=( )A.(2x+2)5B.2x5C.(2x-1)5D.(2x)5解析:选D.由f(x)的特点知f(x)恰为[(2x+1)-1]5的展开式,∴f(x)=(2x)5.3.若(x-)n的展开式中含有非零常数项,则这样的正整数n的最小值是( )A.3B
2、.4C.10D.12解析:选B.Tr+1=Cnr()n-r()rxn-r,令n-r=0,n=r,当r=3时,正整数n的最小值是4.4.若对于任意的实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为( )A.3B.6C.9D.12解析:选B.设x-2=t,则x=t+2,原式化为(2+t)3=a0+a1t+a2t2+a3t3,∴a2=C32·2=6,故选B.5.若Cn1x+Cn2x2+…+…+Cnnxn能被7整除,则x,n的值可能为( )A.x=4,n=3B.x=4,n=4C.x=5,n=4D.x=6,n=5解析:选C.由Cn
3、1x+Cn2x2+…+Cnnxn=(1+x)n-1,分别将选项A、B、C、D代入检验知,仅有C适合.6.若(1-2x)2009=a0+a1x+…+a2009x2009(x∈R),则++…+的值为( )A.2B.0C.-1D.-2解析:选C.(1-2x)2009=a0+a1x+…+a2009x2009,令x=,则(1-2×)2009=a0+++…+=0,其中a0=1,所以++…+=-1.7.(x-y)4的展开式中x3y3的系数为________.解析:(x-y)4的展开式的通项为令得r=2.故展开式中x3y3的系数为(-1)2C42=6.答案:68.二项式(1-
4、xi)n(x∈R,i为虚数单位)的展开式中含x2项的系数等于-28,则n=________.解析:由已知得Tr+1=Cnr·1n-r·(-xi)r=Cnr·(-1)r·ir·xr,根据题意可知r=2,∴(-1)2·i2·Cn2=-28,∴Cn2=28,∴n=8.答案:89.若C233n+1=C23n+6(n∈N*)且(3-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则a0-a1+a2-…+(-1)nan=________.解析:3n+1=n+6或3n+1+n+6=23得n=4或n=(舍去).令x=-1,有44=a0-a1+a2-a3+a4=256.答案:256
5、10.已知(a2+1)n展开式中各项系数之和等于(x2+)5的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54,求a的值.解:由(x2+)5得,Tr+1=C5r(x2)5-r()r=()5-r·C5r·x.令Tr+1为常数项,则20-5r=0,∴r=4,∴常数项T5=C54×=16.又(a2+1)n展开式的各项系数之和等于2n.由题意得2n=16,∴n=4.由二项式系数的性质知,(a2+1)n展开式中二项式系数最大的项是中间项T3,∴C42a4=54,∴a=±.11.已知(4+)n展开式中的倒数第三项的二项式系数为45.(1)求含有x3
6、的项;(2)求二项式系数最大的项.解:(1)由已知得Cnn-2=45,即Cn2=45,∴n2-n-90=0,解得n=-9(舍)或n=10,令-+r=3,得r=6,∴含有x3的项是T7=C106·44·x3=53760x3.(2)∵此展开式共有11项,∴二项式系数最大项是第6项,12.已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n∈N*)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值.(2)当x2的系数取得最小值时,求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.解:(1)由已知Cm1+2Cn1=11,∴m+2n=11,x2的系数为Cm2+22Cn2=
7、+2n(n-1)=+(11-m)(-1)=(m-)2+.∵m∈N*,∴m=5时,x2的系数取得最小值22,此时n=3.(2)由(1)知,当x2的系数取得最小值时,m=5,n=3,∴f(x)=(1+x)5+(1+2x)3.设这时f(x)的展开式为f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,令x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33,令x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,两式相减得2(a1+a3+a5)=60,故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.
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