2019_2020学年高中数学第二章平面解析几何初步2.3.3直线与圆的位置关系学案新人教B版必修2.doc

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1、2．3．3　直线与圆的位置关系　1．了解直线与圆的三种位置关系．　2．掌握直线和圆的位置关系的判断方法．　3．会求圆的切线方程及弦长问题．直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，设圆心(a，b)到直线的距离是d，d＝，则有：位置关系相离相切相交图示公共点无只有一个两个几何法d>rd＝rd01．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)A．相交　　　　　　　　B．相切C．相离D．相交且过圆心

2、答案：B2．当直线x＋y－a＝0与圆x2＋(y－1)2＝2相离时，a的取值范围是________．答案：a<－1或a>33．设直线l过点P(－2，0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是________．答案：±4．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A、B两点，则

3、AB

4、＝________．解析：圆心到直线的距离为，圆的半径为2，则

5、AB

6、＝2＝2．答案：213　直线与圆的位置关系　已知直线方程为mx－y－m－1＝0，圆的方程为x2＋y2－4x－2y＋1＝0．当m为何值时，直线与圆：(1)有两个公共点？(2)只有一个公共点？(3)没有公共点？【解】　法一：将m

7、x－y－m－1＝0代入圆的方程，化简整理得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，Δ＝4m(3m＋4)，(1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，故直线与圆有两个公共点；(2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，故直线与圆只有一个公共点；(3)当Δ<0，即－0或m<－时，直线与圆相交，故直线与圆有两个公共点；(2)当d＝2，即

8、m＝0或m＝－时，直线与圆相切，故直线与圆只有一个公共点；(3)当d>2，即－

9、圆有公共点，则(x－a)2＋(x＋1)2＝2，即x2＋(1－a)x＋＝0有解，所以Δ＝(1－a)2－4×≥0，所以－3≤a≤1．故实数a的取值范围是[－3，1]．　求圆的切线方程　过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．【解】　因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A在圆外．(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，所以＝1，解得k＝－．所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，即15x＋8y－36＝0．(2)若切线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线

10、x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4．综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4．过一点求圆的切线，应首先判定点与圆的位置关系，若在圆上，则该点即为切点，若在圆外，可根据此点设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即得切线斜率．　　过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，13求该直线的方程．解：圆x2＋y2＋4x＋3＝0化为标准式为(x＋2)2＋y2＝1，圆心C(－2，0)．设过原点的直线方程为y＝kx，即kx－y＝0．因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即＝1．所以3k2＝1，k2＝，解得k＝±．

11、因为切点在第三象限，所以k>0．所以所求直线方程为y＝x．　有关圆中弦的问题　已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1，2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．【解】　(1)法一：(几何法)如图所示，过点O作OC⊥AB．由已知条件得直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0．因为圆心为(0，0)，所以

12、OC

13、＝＝．因为r＝2，所以

14、BC

15、＝＝，所以

16、AB

17、＝2

18、BC

19、＝．法二