朗道阻尼2综述.doc

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1、朗道阻尼动力学处理波动问题，得到的结果与流体理论的有所不同。考虑一维静电波扰动：，经Fourier变换解得，色散关系为：其中是等离子体振荡频率。考虑长波，k很小，相速度很大，展开：取平衡时的分布函数为Maxwellian分布：有，因此色散方程为应用定积分公式及，递推得因此取头两项，并考虑主要是电子的贡献，则进一步近似可得而朗道认为，以上运算过程中，积分存在奇点问题，即在速度等于波的相速度时，积分的分母为0。以上的处理方法只是主值积分，正确的计算需要沿着奇点下方的路径进行。如果按照朗道指出的路径积分，结果为I

2、m(v)Re(v)积分围道这时，不再为实数，而是含有虚部的复数。一般对于形如其中虚部是小量，则这里下标r、i对应为实部和虚部。应用到此处，可以得到电子静电波的阻尼率至于为什么要使用朗道围道进行积分，还需要从问题本来的物理过程看：如果最初有扰动，可以对Vlasov方程进行时间t的Laplace变换求得以后的扰动电场，而不是做Fourier变换（空间上仍然做Fourier变换）：代入电场方程可解出电场经Laplace反变换，这里是充分大的实数，使得所有积分奇点都在积分线路的左边。而这些奇点（分母为0）就是经过对

3、应之后的色散方程。而是充分大的条件，对应于色散方程对速度v的积分中，奇点具有充分大的虚部，因此积分是从奇点下方通过的。有趣的是，朗道阐明了要解决这个物理问题，积分围道需从下方绕过，才能满足数学上的要求。而一些数学家则认为这种做法只是纯数学的东西，没有物理意义。直到后来实验和模拟都证实了朗道阻尼的存在，朗道的处理方法才被普遍的接受。从物理上看，朗道阻尼其实是波与电子的共振相互作用。当电子的运动速度与波的相速度相差不大时，电子就被波的势阱捕获，从而与波一起运动。开始时速度小于波速的粒子得到加速，而开始时速度大于

4、波速的粒子被减速，最后被捕获的粒子平均速度都与波的速度相同。对于Maxwellian分布，运动速度在波速附近的粒子中，速度慢的比速度快的粒子更多。从而获得加速的粒子多于减速的粒子。总体看来，波失去能量而粒子获得能量。波的幅度就会逐渐减小，形成阻尼。Fourier变换：Re(y)xIm(y)由于如图围道积分大圆弧上为0（当)，主值积分就等于负的小弧积分。Laplace变换：对于，与上图一样的围道积分，大圆弧上为0，主值积分等于负的小圆弧积分：