等离子体振荡与朗道阻尼

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1、10.10等离子体振荡和朗道阻尼在这节里，我们将用符拉索夫方程导出电子等离子体振荡的色散关系，这个推导将需要围道积分的知识。我们曾用流体观点处理过这个问题。在零阶近似下，我们假定一个具有分布f()v的均匀等离子体，并且令BE==0。在一阶近似下，我们用f(,r,vt)表示0001f(,r,vt)中的扰动：f(,)()(,r,vtf=+vftr,v)（10.107）01现在，由于是独立变量而且未经线性化，所以，电子的一阶符拉索夫方程是v∂fe∂f10+∇−vEiif=0（10.108）11∂∂tmv像以前一样，我们假定离子质量重并且固定

2、不动，而且假定波是在x方向的平面波，ikxt(−ω)fe∝（10.109）1那么方程（10.108）变成e∂f0−+=ifikvfωE（10.110）11xxmv∂xieE∂f∂vx0xf=（10.111）1mkω−vx泊松方程给出en1e3∇iE=ikE=−=−fdv（10.112）1x∫∫∫1εε00代入f并除以ikE，得到1x2e∂∂fv0x31=−∫∫∫dv（10.113）kmεω−kv0xl如果我们用归一化函数f来代替f，能提出因子n：000ω2∞∞∞∂∂lfvvvv(,,)px0yzx1=−dvdvdv（10.114）∫∫

3、∫zyxkk−∞−∞−∞ω−vx如果f是麦克斯韦分布或者其他某些能分解因子的分布，就能容易地求出对v和v的积0yz1l分。留下的就是一维分布f()v。例如，一维麦克斯韦分布是0xlf()(2v=−mπKT)exp(12mv22)KT（10.115）mxx因此，色散关系是ω2lp∞∂∂fvv0()xx1=dv（10.116）kvk2∫−∞−()ωxx由于我们讨论一维问题，所以可去掉下标x。小心不要将这里的（实际上是vv）与前面使x用的总速度想混淆：vω2lp∞∂∂f0v1=dv（10.117）kvk2∫−∞−()ωl在这里，f被理解为一

4、维分布函数，对v和v的积分已经求过。（10.117）式适用于任何0yz平衡分布lf()v，在特殊情况下，倘若lf是麦克斯韦分布，则式中的lf可用（10.115）式。000（10.117）式中的积分不能直接计算，因为在v=ωk处有奇点。人们也许认为不会涉及到奇点，因为在实际上ω几乎从来不会是实数；波通常由于碰撞而稍微阻尼或者由于某些不稳定性机制而增长。由于速度是一个实数，方程（v10.117）的分母绝不是零。朗道首先正确地处理了这个方程。他发现，即使奇点在积分的路线以外，它的存在对等离子体波的色散关系引入了一个重要的修正（一个流体理论所

5、不能预言的效应）。ikxt(−ω)考虑一个初始值问题，在这个问题中，给等离子体一个扰动∼e。如果扰动增长或衰变，ω将是复数。（10.117）式中的积分必须处理成复v平面的周线积分。对于()Im()0aω>的一种不稳定波；()bIm()0ω<的阻尼波，在图10-10中示出了可能的周线。在正常情况，人们会用留数定理来计算沿实轴的线积分：v2图10-10对于()Im()0aω>和()Im()0bω<，朗道问题的积分周线。∫∫Gdv+=Gdv2(πωiRk)（10.118）CC12其中G是被积函数，C是沿实轴的积分路程，C是在无穷大处的半圆，

6、Rk()ω是ωk处12的留数。如果对C的积分为零，就能求出沿实轴的积分。但不幸的是，对于包含因子222exp(−vv)th的麦克斯韦分布来讲，这种情况不出现。v→±∞i时，这个因子变得很大，C的贡献就不2能忽略。朗道证明，当这个问题被正确地处理成初始值问题时，使用的正确周线是低于奇点通过的曲线C。一般来说，这个积分必须要用数值计算，当lf是麦克斯韦分布时，弗里德10（Fried）和康特（Conte）已经给出了计算数表。虽然，这个问题的确切分析是复杂的，但对于大相速度和弱阻尼情况，我们能得到近似的色散关系。在这种情况下，在ωk的极点接近

7、于实轴（图v10-11）。于是，由朗道描述的周线是一条沿Re()v轴的直线，它在极点周围有一个小半圆。围绕极点进行积分，就得到2πi乘上极点处的半留数。（10.117）式就变成图10-11对于Im()ω为小量的情况，在复v平面上的积分周线图10-12在vv的情况下的归一化麦克斯韦分布。φth3ω2⎡⎤llp∞∂∂fv00∂f1=+⎢⎥Pdviπ（10.119）kvk2⎢⎥∫−∞−∂()ωv⎣⎦vk=ω其中P就是柯西主值。为了计算这个值，我们沿实轴积分，但正好在遇到极点前停止。如v果像我们假定的那样，相速度v=ωk足够大，则周线的忽略

8、部分将不带来较大的贡献，φll因为在那里f和∂∂fv都是非常小的（图10-12）。用分部积分能计算（10.119）式的积分：00∞∞∞∂−lfdv⎡⎤lffldv000=−⎢⎥∫∫−∞∂−vvv⎢⎥vv−−∞vv−2φφ