力学竞赛试题及答案.doc

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1、力学竞赛试题及答案一、四叶玫瑰线解：（1）对于四叶玫瑰曲线，在直角坐标系中可写成（图3-1）将代入上式，得（1）利用三角函数的积化和差公式可得（2）图3-1图3-2（2）现设计一行星齿轮机构来画此曲线。如图3-2所示的行星齿轮机构，小齿轮在固定内齿轮内作纯滚动，其中内齿轮的半径为，小齿轮的半径为，画笔所在点离小齿轮圆心的距离为。随系杆的转动，其点的轨迹为利用小齿轮的纯滚动条件，有，代入上式可得作变换，令，上式可改写为（3）对照式（2）和式（3）中的系数，有，，联解之，得，，（4）做一个如图3-2所示的行星齿

2、轮绘图机构，取式（4）中的参数，即可画出的四叶玫瑰曲线。二．手指转笔在你思考问题时有用手指转笔的习惯吗？请你用下述刚体简化模型，进行分析计算：（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）求出笔绕手指无滑动转一周中，手指作用于笔的正压力和摩擦力的大小；（3）给出笔与手指间的摩擦因数随AC长度x变化应满足的条件。手指转笔的刚体简化模型：如题4图所示，设手指为半径为的圆柱，笔为一回转半径为的细直杆（对质心C转动惯量为）。设手指保持不动，开始时笔在距质心C距离为的A处与手指相切，初角速度为，设，且杆始终在垂直于手指

3、的同一平面内转动，忽略重力的影响。解：（1）关键词：平面运动学分析，刚体平面运动微分方程，机械能守恒。（2）设某瞬时杆与圆柱相切于点（圆柱上的点），此时杆绕旋转的角速度为，质心C与A距离为x。杆对A的转动惯量为，依题意，A为杆此刻的速度瞬心，由机械能守恒可得故（1）设杆受压力和摩擦力，如图4-1（a）所示，，分别为质心加速度的径向和切向分量，为杆转动的角加速度。（a）（b）图4-1和两点瞬时重合，相对于的加速度与相对于的加速度等值反向，而（纯滚动接触点的加速度），由指向。故有，由指向，且点的加速度无切向分量

4、，而由基点法可知（2）方向如图4-1b所示，其中，。代入式（2）后，投影得，（3）根据刚体平面运动微分方程，可列出（4）联立求解式（3）和式（4），可得（5）（6）（3）、分析摩擦因数应满足的条件：若使杆始终不与圆柱脱离，则摩擦因数应满足（7）因，对，有，（）。则故三、小虫在转盘上爬行一光滑水平面上的圆盘，中心O用无摩擦轴固定，圆盘对此转轴的转动惯量为。在圆盘上P点有一个质量为m的小虫，处于静止状态，如题5（a）图所示。小虫在转盘上爬行将引起转盘的转动。请你分析计算。（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（

5、2）在时刻小虫开始爬行，当我们在转盘中看到小虫的轨迹如题5图（b）所示时（假设小虫相对转盘逆时针运动），试求出转盘转过的角度。（3）若我们在转盘中看到小虫的轨迹如题3图（c）所示的圆弧时，试求出转盘转过的角度，并求出当小虫沿圆弧爬行一周时，转盘转过的角度。（a）（b）（c）题3图解：(1)关键词：点的合成运动，动量矩守恒。（2）取小虫为动点，定参考系，动参考系固连在转盘上，与转盘一起转动。根据题中提供的条件，转盘和小虫的重力平行于转轴，系统对转轴O的动量矩守恒。设在时刻，为小虫相对于定参考系的速度（即绝对速

6、度），为小虫相对于转盘参考系的速度，转盘的角速度为，r为小虫相对于定参考系的位矢，为小虫相对于动参考系的位矢，牵连速度。如图3、图4所示。根据点的速度合成公式，有（1）由于系统对转轴的动量矩守恒，有（2）在此问题中，，可以得到进一步有（3）设与的夹角为，则上式可以化为（4）所以，转盘转过的角位移为（5）将式中的用小虫在动参考系中爬行的路程表示，可得转盘转过的角位移为（6）若用极坐标描述（如图5），有（7）则式（6）可表示为（8）从以上可知，转盘转过的角位移由小虫在动参考系中的轨迹决定。（3）当小虫爬行的轨迹

7、为圆弧时，如图6所示，有代入式（8），得（9）当小虫沿圆弧爬行一周时，将代入上式，可得转盘转过的角度为（10）四、四两拔千斤五、自动向上滚的论子（南京工程学院）（1）本问题与力学中的什么内容有关系？关键词：重力作功。（2）试用力学原理简单解析一下轮子往上滚动的原因。轮子能往上滚动是因为重力作功。由于轨道与轮子的形状比较特殊，虽然在轨道上看，轮子是往上滚动，但是轮子的重心在轨道低处时要比轮子在轨道高处时高。重力作功，所以轮子能往上滚动。（3）求出直轨道和轮子的尺寸以及夹角的关系。设有效轨道的最低端为A，最高端

8、为B，两端的水平距离为，如图（3），在A、B处轨道高度分别为、，而、分别为轮子在轨道A、B处与两侧轨道接触点之间的距离。只要轮子在A处的重心位置比在B处高，轮子就可以沿着这条轨道往上滚动。由图（1）、（2）、（3）的几何关系可得，轮子在A处其重心到轨道底部距离为0轮子在B处其重心到轨道底部距离为0由图（3）可知轮子将会向上滚动。六、难中的奖（南京工程学院）由图中几何关系得因冲击力的方向沿球与易拉罐的接触点与球心的