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1、.1如图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,∠ABC=600,PA=AC=a,PB=PD=,点E是PD的中点.(I)证明PA⊥平面ABCD,PB∥平面EAC;(II)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角的正切值.(0418)DEPBAC2如图,在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,AC与BD交于点E,CB与CB1交于点F.(I)求证:A1C⊥平BDC1;(II)求二面角B—EF—C的大小(结果用反三角函数值表示).3在三棱锥S—ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M为AB的中点.(Ⅰ)
2、证明:AC⊥SB;(Ⅱ)求二面角N—CM—B的大小;(Ⅲ)求点B到平面SCM的距离.(041)4如图,P—ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点,截面DEF∥底面ABC,且棱台DEF—ABC与棱锥P—ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)(1)证明:P—ABC为正四面体;(2)若PD=PA,求二面角D—BC—A的大小;(结果用反三角函数值表示)5(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,(1)证明MF是异面直线AB与PC的公垂线;(2)若,求二面角E—AB—D平面角...
3、66如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱底面ABCD,,是PC的中点。(1)证明平面EDB;(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。7如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.(Ⅰ)求证AM∥平面BDE;(Ⅱ)求证AM⊥平面BDF;(Ⅲ)求二面角A—DF—B的大小;PCAB8如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,AB=8,AD=4,侧面PAD为等边三角形,并且与底面所成二面角为60°.(Ⅰ)求四棱锥P—ABCD的体积;(Ⅱ)证明PA⊥BD.DCEFMABP9三棱锥P—A
4、BC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3.(1)求证AB⊥BC;(2)如果AB=BC=,求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小10.如图,已知四棱锥P—ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.(I)求点P到平面ABCD的距离;(II)求面APB与面CPB所成二面角的大小...1因为底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,所以AB=AD=AC=a,在△PAB中,由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB.同理,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD.
5、因为所以、、共面.又PB平面EAC,所以PB//平面EAC.(Ⅱ)解作EG//PA交AD于G,由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H,连结EH,则EH⊥AC,∠EHG即为二面角的平面角.又E是PD的中点,从而G是AD的中点,所以2(Ⅰ)∵A1A⊥底面ABCD,则AC是A1C在底面ABCD的射影.∵AC⊥BD.∴A1C⊥BD.同理A1C⊥DC1,又BD∩DC1=D,∴A1C⊥平面BDC1.(Ⅱ)取EF的中点H,连结BH、CH,又E、F分别是AC、B1C的中点,..3(Ⅰ)取AC中点D,连结DS、DB.∵SA=SC,BA=BC
6、,∴AC⊥SD且AC⊥DB,∴AC⊥平面SDB,又SB平面SDB,∴AC⊥SB.(Ⅱ)∵SD⊥AC,平面SAC⊥平面ABC,∴SD⊥平面ABC.过D作DE⊥CM于E,连结SE,则SE⊥CM,∴∠SED为二面角S-CM-A的平面角.由已知有,所以DE=1,又SA=SC=2,AC=4,∴SD=2.在Rt△SDE中,tan∠SED==2,∴二面角S-CM—A的大小为arctan2.(Ⅲ)在Rt△SDE中,SE=,CM是边长为4正△ABC的中线,.∴S△SCM=CM·SE=,设点B到平面SCM的距离为h,由VB-SCM=VS-CMB,SD⊥平面ABC,
7、得S△SCM·h=S△CMB·SD,∴h=即点B到平面SCM的距离为4(1)∵棱台DEF—ABC与棱锥P—ABC的棱长和相等,∴DE+EF+FD=PD+PE+PF.又∵截面DEF∥底面ABC,∴DE=EF=FD=PD=PE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°,∴P—ABC是正四面体.【解】(2)取BC的中点M,连接PM,DM.AM.∵BC⊥PM,BC⊥AM,∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,则∠DMA为二面角D—BC—A的平面角.由(1)知,P—ABC的各棱长均为1,∴PM=AM=,由D是PA的中点,得sin∠DMA=,∴∠DMA=arc
8、sin.5(I)证明:因PA⊥底面,有PA⊥AB,又知AB⊥AD,故AB⊥面PAD,推得BA⊥AE,又AM∥CD∥EF,且AM=EF,证得AEFM是矩