矩形的性质和判定 教师版.doc

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1、1.3矩形的性质和判定1.3矩形的性质和判定学习目标：1、学会识别矩形；2、掌握矩形的概念、判定和性质，会用矩形的性质和判定解决简单的问题；3、会运用矩形的知识解决有关问题,重点：掌握矩形的性质，并学会应用难点：理解矩形的特殊性【知识梳理】1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且相等．②角的性质：四个角都是直角．③对角线性质：对角线互相平分且相等．④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半．点评

2、：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．【例题精讲】【矩形的判定】【例1】如图，在四边形中，，，求证：四边形是矩形．【解析】∵，∴∥在和中∴≌()∵，∴四边形是平行四边形∵，∴四边形是矩形【例2】如图，已知在四边形中，交于，、、、分别是四边的中点，求证四边形是矩形．【解析】∵、、、分别是四边的中点∴、为中位线∴且∴四边形为平行四边形第13页1.3矩形的性质和判定∵，∴∴四边形是矩形．【例3】如图，在平行四边形中，是的中点，且，

3、求证：四边形是矩形．【解析】∵四边形是平行四边形，∴，∵是的中点，∴在和中∴≌()，∴∴，∴四边形是矩形【例4】设凸四边形的4个顶点满足条件：每一点到其他3点的距离之和都要相等．试判断这个四边形是什么四边形?请证明你的结论。【解析】这个四边形是矩形．由已知得变换此式有得；得，故知是平行四边形又得，因此，四边形是矩形【例5】如图，平行四边形中，、、、分别是、、、的平分线，与交于，与交于，证明：四边形是矩形．【解析】∵四边形为平行四边形∴，∵、分别是、的平分线∴∴同理∴四边形是矩形．【例6】如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连结．⑴、求证：．⑵、如果，试判断四边

4、形的形状，并证明你的结论．【解析】⑴、∵，第13页1.3矩形的性质和判定是的中点，∴∵∴∴，∵∴（2）四边形是矩形∵，是的中点（利用全等）∴∴∵，∴四边形是平行四边形又∴四边形是矩形．【例7】已知，如图，在中，，是边上的高，是的外角平分线，∥交于，试说明四边形是矩形．【解析】∵，∴又∵，，∴，∴∥又∵∥，∴是平行四边形，∴∵，，∴∴，∴四边形是平行四边形又∵，∴平行四边形为矩形本题也可先说明，再说明四边形是平行四边形【例8】如图所示，在中，，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接．⑴、求证：四边形是菱形；⑵、连接并延长交于连接，请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？【

5、解析】⑴是由绕点旋转得到∴，∴是等边三角形∴又∵是由沿所在直线翻转得到∴，∴第13页1.3矩形的性质和判定∴点、、三点共线∴是等边三角形∴∴∴四边形是菱形．⑵四边形是矩形．由⑴可知：是等边三角形，于∴，又∵∴，∴，∴∴四边形是平行四边形，而∴四边形是矩形．【例9】如图，在中，于，于，的两条高相交于，，，求的长．【解析】过作于，连接、．∵，，∴∥又∵，，∴∥∴四边形为平行四边形，∴又∵，且∥∴∴四边形为矩形∴，，∴又∵∥∴四边形为平行四边形，∴∵，∴，即∴，∴【例10】已知，如图矩形中，延长到，使，是中点．求证：．【解析】延长交于，连结．∵四边形是矩形，∴∴，第13页1.3矩形的性质和判定∵是中

6、点，∴，在和中，∵∴．∴，，∴∵，∴∵，∴【矩形的性质及应用】【例11】如图，在矩形中，点是上一点，，，垂足为.线段与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。即.(写出一条线段即可)【解析】连接.∵四边形是矩形，∴，，.∴.又∵，∴，∴，又∵，∴≌，∴.【例12】如图，在矩形中，分别是上的点，且.求证：≌.【解析】∵四边形是矩形∴.在和中，又∵，∴≌.【例13】如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则矩形的对角线的长是（）A．B．C．D．【解析】∵，，∴为等边三角形，∴第13页1.3矩形的性质和判定【例14】矩形的对角线、交于，如果的周长比的周长大，则边的长是

7、．【解析】∵，∴．【例15】如图，矩形中，对角线、交于，于，，则_______．【解析】∵∴，∵，∴．【例16】如图在矩形中，已知，，是边上任意一点，、分别是垂足，求的值．【解析】法一：作于，于，则又易证，从而，，所以而，则．在中，根据面积公式有，则，．法二：利用面积相等，连接并作　　　　　　　　　　　　　　，，第13页1.3矩形的性质和判定，．法三：延长过点作的延长线，垂足为，过点作于．