矩形的判定和性质

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1、矩形的性质和判定一、基础知识（一）矩形的定义有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。（二）矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的一切性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是900；4.矩形是轴对称图形；边角对角线对称性矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称，中心对称（三）矩形的判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形；3.有三个角是直角的四边形是矩形；4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。（四）直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（如图：OB=OC=OA=AC）二、例题讲解考点一：矩形的基本性质例1

2、：如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE=2∠BAE，那么，∠BAE=________，∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．10练习1：矩形ABCD中,,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度.练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD.例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?练习1：矩形ABCD

3、中,,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。10例3：如图，在矩形ABCD中，相邻两边AB、BC分别长15cm和25cm，内角∠BAD的角平分线与边BC交于点E．试求BE与CE的长度．练习1：如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点．试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．例4：（2009年广西钦州）已知：如图1，在矩形ABCD中，AF＝BE．求证：DE＝CF；练习1：如图，矩形ABCD中，E为AD中点，∠BEC为直角，矩形ABCD的周长是20，求AD、AB的长。10练习2：（2009年衢州）如图，四

4、边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．ACBDPQ考点二：面积法例1：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，BE⊥AC于E．试求出BE的长．练习1：如图，矩形ABCD中，E点在BC上，且AE平分ÐBAC。若BE=4，AC=15，则rAEC面积为（）A.15B.30C.45D.60。ABCED10练习2：如图：在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AB=4cm,AD=cm.(1)判定△AOB的形状.（2）计算△BOC的面积.练习3：如图，将矩形ABCD

5、沿着直线BD折叠使点C落在点C＇处，BC＇交AD于E，AD=8，AB=4，BE=5,求△BED的面积。考点三：矩形对角线平分且相等例1：矩形的两条对角线相交成60°角，较短边与一条对角线之和为15cm，则矩形的对角线长为cm。练习1：矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（）．A．57.5°B．32.5°C．57.5°、33.5°D．57.5°、32.5°10练习2：矩形两条对角线的夹角是120°，短边长4cm；则矩形的对角线长；练习3：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝5cm，则AC＝。考点四：直角三角形斜边上的中线等

6、于斜边的一半例1：如图，△ABC中，∠A=2∠B，CD是△ABC的高，E是AB的中点，求证：DE=AC．10练习1：如图，矩形ABCD的对角线AC交BD于D，E为CB延长线上一点，连接AE，M为AE中点且BM⊥DM于点M，（1）连接OM，若AD=8，CD=6，求OM的长。（2）求证：AD+BE=2AO考点四：角平分线例1：已知，四边形ABCD是矩形，CH⊥BD，H为垂足，AE是∠BAD的平分线，交HC的延长线于E。求证：CE=BD。ADOBEC例2：矩形ABCD，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数；10例3：（2009年

7、佳木斯中考卷第25题）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.练习1：如图，E为矩形ABCD边AD上一点，BE=DE，P为BD上一点，PF⊥BE于F，PG⊥AD于G。求证：PF+PG=AB。课后练习：1、矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，对角线长是________，两边长分别等于____