奥-高公式(北工大.ppt

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1、一、第一型曲面积分二、第二型曲面积分三、奥-高公式四、斯托克斯公式第二节曲面积分定理1若曲面块S:是光滑或者逐片光滑的，其中D是有其中界闭区域。函数在曲面S连续，则函数在S的第一型曲面积分存在，且1、第一型曲面积分的计算法则按照曲面的不同情况分为以下三种：(1).2.其它情形曲面积分的计算法设S在面的投影区域为,(3).(2).设S在　面的投影区域为,则设S在面的投影区域为,则定理2若有光滑曲面S:其中D是有界闭区域。函数在曲面S连续，则函数在S第二型曲面积分其中符号“”由曲面s的正侧外法线与z轴

2、正向的夹角余弦的符号决定。3.第二型曲面积分的计算方法存在，且设S是有向曲面.假定上各点处的法向量与z轴正向的夹角在有向曲面取一小块４.有向曲面在坐标面上的投影若光滑曲面S有参数方程给出且在D上各点它们的函数行列式不同时为零，则三、奥-高公式中的有界闭体:是V在xoy平面上的投影，是由光滑或分段光滑闭曲线围成的有界闭区域．是光滑曲面．若V由曲面　　　以及垂直于　　的边界的母线所构成的柱面　　所围成，则称V为xy型的有界闭体．xy型的有界闭体的定义xy型有界闭体V定理设　是　中的双侧闭曲面S所围成的

3、型（同时既是　又是　型）有界闭体．若三元函数　　　　　　　　　　　及其偏导数在包含　的区域上连续，则其中曲面S的外侧为正．奥-高公式证明公式由三个等式组成.下面证明式(1).设Ｖ是xy型有界闭体．V由3个在xoy平面上的投影为,由三重积分的计算公式，有曲面组成：由曲面积分的计算公式，有其中曲面　是曲面S的侧面，其在xoy平面上的投影是区域　　的边界．则曲面　　法线正向与z轴正向的夹角是钝角，曲面　　法线正向与z轴正向的夹角是锐角．则所以有若V又是yz型和zx型有界闭体，同法可证对于一般的有界闭体可

4、分成有限个小的有界闭体，使得每个有界闭体满足定理中的条件．推出V的体积为例1计算曲面积分其中　　是平面及三个坐标面围成的立方体V的表面．例2利用高斯公式计算曲面积分外侧,解曲面S不是封闭曲面，不能直接用高斯公式。补充故所求积分为例计算其中S为取上侧为正．例计算其中S为椭球面取外侧为正．的上半球面，1.通量的定义四．散度曲面S正侧法线的单位向量．2.散度的定义散度的另外的形式积分中值定理,两边取极限,根据高斯公式可写成