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1、椭__圆1．椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于
2、F1F2
3、)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程及其几何性质条件2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0图形标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)范围
4、x
5、≤a；
6、y
7、≤b
8、x
9、≤b；
10、y
11、≤a对称性曲线关于x轴、y轴、原点对称曲线关于x轴、y轴、原点对称顶点长轴顶点(±a,0)短轴顶点(0，±b)长轴顶点(0，±a)短轴顶点(±b,0)焦点(±c,0)(0，±c)焦距
12、F1F2
13、＝2c(c2＝a2－b2)
14、离心率e＝∈(0,1)，其中c＝通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为1．(教材习题改编)设P是椭圆＋＝1的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则
15、PF1
16、＋
17、PF2
18、等于( )A．4 B．8C．6D．18解析：选C 依定义知
19、PF1
20、＋
21、PF2
22、＝2a＝6.2．(教材习题改编)方程＋＝1表示椭圆，则m的取值范围是( )A．(－3,5)B．(－5,3)C．(－3,1)∪(1,5)D．(－5,1)∪(1,3)解析：选C 由方程表示椭圆知解得－3＜m＜5且m≠1.3．(2013·淮南五校联考)椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( )A．－21B．21C．－
23、或21D.或21解析：选C 若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，由＝，即＝，得k＝－；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，由＝，即＝，解得k＝21.4．(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8.则该椭圆的方程是________．解析：∵2c＝8，∴c＝4，∴e＝＝＝，故a＝8.又∵b2＝a2－c2＝48，∴椭圆的方程为＋＝1.答案：＋＝15．已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且满足
24、PF1
25、＝2
26、PF2
27、，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为________．解析：在三角形PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF2F1＝1
28、，即∠PF2F1＝，设
29、PF2
30、＝1，则
31、PF1
32、＝2，
33、F2F1
34、＝，所以离心率e＝＝.答案：1.椭圆的定义中应注意常数大于
35、F1F2
36、.因为当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和等于
37、F1F2
38、时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和小于
39、F1F2
40、时，其轨迹不存在．2．已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论．椭圆的定义及标准方程典题导入[例1] (2012·山东高考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四
41、边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1[自主解答] ∵椭圆的离心率为，∴＝＝，∴a＝2b.故椭圆方程为x2＋4y2＝4b2.∵双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，∴渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为b×b＝4，∴b2＝5，即a2＝4b2＝20.故椭圆C的方程为＋＝1.[答案] D本例中条件“双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16”变为“此椭圆的长轴长等于圆x2＋y2－2x－15＝0
42、的半径”，问题不变．解：∵x2＋y2－2x－15＝0，∴(x－1)2＋y2＝16，∴r＝4，即2a＝4，a＝2.又＝，∴c＝，∴b＝1，故椭圆方程为＋y2＝1.由题悟法1．解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题．2．椭圆方程的求法多用待定系数法，其步骤为：(1)定标准；(2)设方程；(3)找关系；(4)得方程．3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，且A≠B)．以题试法1．(2014·张家界模拟)椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P
43、，则
44、PF2
45、＝( )A.B.C.D．4解析：选A 因为a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝.不妨设F1为左焦点，P在x轴上方，则F1(－，0)，设P(－，m)(m＞0)，则＋m2＝1，解得m＝，所以
46、PF1
47、＝根据椭圆定义
48、PF1
49、＋
50、PF2
51、＝2a，所以
52、PF2
53、＝2a－
54、PF1
55、＝22－＝.椭圆的几何性质典题导入[例2] (1)F1、F2是椭圆＋y2＝1的左右焦点，点P在椭圆上运动．则·的最大值是( )A．－2 B．1 C．2 D．4(2)(2012·江西高考)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右
