求高阶导数常见方法.pdf

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1、求函数的高阶导数常用方法（一）逐阶整理法x例1、求f()xex=sin的n阶导数（解略）（二）将函数分解为若干个简单函数的和，再利用已知的常见的函数的高阶导数公式αα()nn−（1）()x=−αα(1)(?α−nx+1)x()nxnx()nx（2）()aa=(ln)a，(e)=e()nn⎛⎞π（3）(sin(axb+=))a⋅+sin(⎜⎟axb)+n⋅，⎝⎠2()nn⎛⎞π(cos(axb+=))a⋅cos(⎜⎟axb+)+n⋅⎝⎠2()nn()nnn⎛⎞1(−1)n!⎛⎞1(−1)na!⋅（4）⎜⎟=，⎜⎟=n+1n+1⎝⎠

2、xx⎝⎠ax++b()axbn−1nn−1()n(1)(1)!−n−()n(1)(1)!−na−⋅（5）(ln)x=，(ln(ax+=b))nnx()ax+b例2、求下列函数的n阶导数n1x（1）fx()=（2）fx()=x(1−x)1−x1（3）fx()=（4）f()coscos2xxx=⋅222abx−（三）利用莱布尼茨公式lnx例3、求函数fx()=的n阶导数x2n例4、求函数f()(1xx=−)的n阶导数nn（提示：f()(1)(1)xxx=−⋅+）（四）先求一阶或二阶导数，变成乘积形式，再利用莱布尼茨公式，得到高阶导数

3、的递推公式()n例5、设y=arctanx，求yx=01解：由y′=，得21+x2yx′⋅(1+=)1对上式两边求n阶导数（左边利用莱布尼茨公式），得(1nnn+−)2()nn(1−)(1)yx⋅++⋅⋅+(1)ny2x⋅y⋅=202即2(1nn+−)()(1n)(1+⋅xy)++2nxynny(−=1)0（高阶导数的递推公式）令x=0，得(1nn+−)(1)yn=−(1n−)yx=00x=又由y(0)=0，y′(0)1=，故⎧0,当nk=2()ny=⎨x=0⎩(1)(2)!,−k⋅=kn当21k+()n例6、设yx=arcsi

4、n，求yx=0′1⎛⎞1xx解：由y′=，yy′′===⎜⎟⋅′，则2⎝⎠1−x231−x21−x22(1−x)2y′′′⋅(1−=⋅xy)x对上式两边求n阶导数（两边利用莱布尼茨公式），得(2nn++)2(1)nn(1−)()n(1n+)()ny⋅−(1x)+⋅ny⋅−(2)x+⋅y⋅−=(2)y⋅+⋅xny⋅12整理，得2(2nn++)(1)2(n)(1−−xy)(2nxy+−1)ny=0令x=0，得(2nn+)2()y=ny（高阶导数的递推公式）又由y′(0)=0，y′′(0)=0，故⎧0,当nk=2()ny=⎨x=0⎩[

5、(2kn−1)!!],2当=+2k1（五）分段函数分界点处的高阶导数用定义3例7、研究f()xx=在x=0处的各阶导数3⎧,xx>0⎪（提示fx()=⎨0,x=0）⎪3⎩−