数学建模——下料问题.pdf

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1、下料问题摘要本文以最少投入成本和满足客户要求为目标，利用线性规划方法，建立了数学优化模型。根据题意，首先作出适当的假设，由假设和题目条件得到目标函数和限制条件，再用lingo软件求得最优解。最后对模型进行检验和进一步分析可得到最终最优的钢材切割模式分配为：模式1将每根原料钢管切割1根290mm，1根215mm，1根355mm，2根455mm，原料钢管共16根模式2将每根原料钢管切割2根215mm，3根455mm，原料钢管共6根模式3将每根原料钢管切割5根355mm，原料钢管共1根模式4原料钢管总共为0根本模型具有操作简便，运算速度快等优点，适合解决下料问题。关键

2、词：线性规划；下料；切割模式；费用1介绍1.1背景在生产生活中，钢材下料是在机械、行业、造纸、服装、木材等行业、企业都会遇到的实际难题，这包括怎样最大限度的节省原材料以节省投入成本以及提[1]高原材料的利用率，企业为了使得自身利益的最大化，通常制定一系列的提高效益的生产计划。所以如何优化下料问题是重中之重。一维下料问题是下料问题[2]中的基础问题，本文也是在此背景基础上，通过建立优化模型来解决下料的具体问题。1.2问题重述某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出。从钢管厂进货时得到的原料钢管长度是1850mm。现有一客户需要15根290mm、28

3、根215mm、21根350mm和30根455mm的钢管.为了简化生产过程,规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依次类推，且每次切割模式下的切割次数不能太多(一根原料钢管最多生产5根产品)。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm。为了使总费用最少，应如何下料？1.3问题分析针对以上问题，作如下分析：此问题是为了解决投入成本最小为目标的优化问题，我们利用线性规划知识建立了优化模型。根据原材料费用和题意中切割模

4、式下的产生的附加费用，建立总费用目标函数。再根据题意中的客户需求和生产限制建立限制条件，得到待求模型。最终求解模型得到最优解，然后对模型进行了检验和进一步分析可得这个最优解就是最佳的切割模式分配。1.4问题假设1.切割过程中钢管无损耗，生产过程无次品2.切割余料不能再用3.290mm,215mm,350mm,455mm钢管在切割过程中允许有剩余，但库存为04.切割原材料钢管根数按模式频率从高到低排列为x，x，x，x12341.5符号解释x表示第i种模式切割原料钢管根数（i1,2,3,4）ir,r,r,r表示第i种模式下将一根原料钢管切割成1i2i3i4i290

5、mm,215mm,350mm,455mm钢管的数量a为原材料一根钢管的价值2模型的建立与求解2.1模型的建立由假设4，由于目标使得总运费最少，我们建立如下目标函数：1234minzax()xxxaxaxaxax1234123410101010（1）由假设1，为了满足客户需要15根290mm、28根215mm、21根350mm和30根455mm的钢管，构造如下约束条件：xrxrxrxr15111212313414xrxrxrxr28121222323424xrxrxrxr21131232333434xrxrxrxr3

6、0（2）141242343444由假设2,3为了使每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm，构造如下约束条件：1750290r215r350r455r1850112131411750290r215r350r455r1850122232421750290r215r350r455r1850132333431750290r215r350r455r1850（3）14243444一根原料钢管最多生产5根产品，可以得到：15rrrr1121314115rrrr1222324215rrrr13233343

7、15rrrr14243444（4）[3]由（1）—（4）式，可得到最终模型：1234minzax(xxx)axaxaxax1234123410101010xr111xr212xr313xr41415xrxrxrxr28121222323424xrxrxrxr21131232333434xrxrxrxr301412423434441750290r215r350r455r1850112131411750290r12215r22350r32455r4218501750

8、290r13215r2