数学分析简明教程答案(尹小玲 邓东皋).pdf

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1、第十章数项级数§1级数问题的提出1.证明：若微分方程xy''y'xy0有多项式解2nyaaxaxax;012n则必有ai0,1,2,,.ni2n证明：若yaaxaxax微分方程的一个解那么,012n21nyaaxax'23nax123nn2y''2aa6(xnna1)x;23n于是可得21nxy''2ax6axnn(1)ax23n23n1xyaxaxaxax.012n因此可知22nn1xy''y'xya(4aax)(9aax)(naa)

2、xax012031nn2n那么由多项式相等可知有a012naa0n2.nn2an0递推可知有ai0,1,2,,n成立。iAn2.试确定系数aa01,,,ann,,使ax满足勒让德方程n02(1xyxylly)''2'(1)0.n解：将级数axn两次逐项求导可得n0nn12naxnn,(1nn);axnn12把它们代入勒让德方程可得n2nnnnn(1)axnnn(1)axnn2naxll(1)axn0,nnn2210n整理后可得20a

3、1(2nnl)(1)(1l).aa,2n,3,4,nn2(1nn)那么由以上递推公式可得方程的解为ll(1)24ll(2)(1l)(3l)()yxa1xx02!4!(ll1)(2)35(llll1)(3)(2)(4)ax1xx3!5!ayxayx()().0112其中aa,,为任意常数由aa,的任意性可以知道yxyx(),()都是勒让德方程的特解,并且容易010112验证它们是线性无关的。§2数项级数的收敛性及其基本性质1.求下列级数的和：1111

4、(1)nn11(5nn4)(51)55nn45111111111lim156n61111165nn451111lim155nn151111(2)2nn114122121nnn11111111lim123n35572nn121111lim1.22nn12Bn1(1)

5、11nn11n1(1)22(1)2(3)nn11limlim1.n123nn1231221n(4).n;n12111n211nn21112211n223设则于SSSnn,,11是Snlimnlim,22222222nn12nn11n21221n于是Sn3n12n(5)rnsinx,r1;n1nk解：记Srknsinx.则k1nk12cosrxSnr2cossin

6、xkxk1nk1rksin(1)xksin(1)xk1nn12Srxrsinsin(nxrSrn1)sinxnn212nn1rSrxrsinsin(nxr1)sinnx,n于是可得nn12rxrsinsin(nxr1)sinnxS;n212rrxcos由于r1,因此有nrxsinrnsinxSlimn2.n1n12rrxcosCn(6)rncosx,r1;n1nk解：记Srkncosx.则k1nk12cosrxSnr2co

7、scosxkxk1nk1rkcos(1)xkcos(1)xk1nn12Srxrcoscos(nxr1)1Srncosxnn212nn21crSrxroscos(nxr1)cosnxr,n于是可得nn122rxrcoscos(nxr1)cosnxrS;n212rrxcos由于r1,因此有2nrxrcosrncosxSlimn2.n1n12rrxcos2.讨论下列级数的敛散性：nn1(1);lim0,故原级数发散。n121nnn

8、2121111(2)nn;由于级数n,n都收敛故原级数收敛。nn11232