数学分析简明教程答案(尹小玲 邓东皋)第11章.pdf

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1、第十一章广义积分§11.1无穷限广义积分1.求下列无穷积分的值：1（1）dx；2x211（2）dx；2x(1x2)2ax（3）xedx(a0)；0ax（4）esinbxdx(a0)；0.x（5）dx；01x2dx（6）(p,q0)．0(x2p)(x2q)1A11A111解（1）dxlimdxlim(lnln)ln3．2x21A2x21A2A13221A11A1（2）dxlimdxlim(lnln2)ln

2、2．1x(1x2)A1x(1x2)A21A222A2121axaxax（3）xedxlimxedxlim（1e）．0A0A2a2aax（4）设Iesinbxdx(a0)，则0Aax1axAbAaxIlimesinbxdxlim(esinbxecosbxdx)0AAa0a0bAAaxaxlim(ecosbxbesinbxdx)a2A00222bbAbbbbaxaxlimesinbxd

3、xesinbxdxI，a2a2A0a2a20a2a2b所以，I．22ab（5）作变换xy，则有22222y(12yy)y(12yy)x2y22dxdydy24221x1y(12yy)(12yy)22d(12yy)1d(y)22412yy212(y)2222d(12yy)1dy)22412yy212(y)222212yy2ln[arctan(2y1)arctan(2y1)]C2412yy222(

4、12xx)2yxln[arctan(2x1)arctan(2x1)]C，241x2所以，2Ax2(12AA)2dxln[arctan(2A1)arctan(2A1)]01x241A2222()(A)，2222x2即，dx．01x22dx(6)由于当pq时，用I的地推公式，n22n(ax)dxdx1x1dx222222(xp)(xq)(xp)2pxp2pxp1x1xarctanC22pxp2ppp所以，p

5、q0时，Adx1A1Alimlim(arctan)，A0(x2p)2A2pA2p2ppp4pp当pq时，由于dx1(pq)dx1112222(22)dx(xp)(xq)pq(xp)(xq)pqxqxp11x1x(arctanarctan)C，pqqqpp所以，当pq时，dxAdxlim0(x2p)(x2q)A0(x2q)11A1Alim(arctanarctan)Apqqqpp2pq(pq)两种情况

6、下，即只要p,q0，就有dx．022(xp)(xq)2pq(pq)2.讨论下列积分的收敛性：dx（1）；034x1arctanx（2）dx；01x3＋1（3）sindx；12x1（4）dx；０1xsinxx（5）dx；01x2sin2xmx（6）dx(n,m0)；01xn2xdx（7）；０x4x211（8）dx；132x1x2x（9）xedx(p0)；0lnx（10）dx；1xpnlnx（11）dx（n是正

7、整数）；1x22sinx（12）dx；0xcosax（13）dx；01xn11（14）[ln(1)]dx；1x1x11（15）ln(cossin)dx；1xx121sinx（16）ln1dx．０x2241dx解（1）limx31，所以积分收敛．x34034x1x12xarctanx（2）limx，故所求积分收敛．x1x321sin122x（3）limxsinlim1，因此所求积分收敛．xx2x12x1

8、1（4）x0，有0，且1xsinxx1dxAdxlimlimln(1A)，０1xA01xAdxdx即发散，由比较判别法知发散．01x０1xsinxxxx（5）x0，有0，而limx1，无穷积分1x2sin2xx21x1x2xxdx发散，由比较判别法知dx发散．0x2101x2sin2xnx（6）因为lim1，所