数模论文飞机航线问题.pdf

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1、《数学建模与实验》课程论文论文题目：飞机航行用时的建模分析班级：学号：姓名：飞机航行用时问题摘要本文针对飞机航行用时问题问题，根据从飞机经过地点的经纬度以及高据，建立了基于地球半径以及弧长所对角度的几何关系数学模型，利用MATLAB等软件对模型进行求解，回答了题目所给出的问题。针对问题1，选取飞机各段航线弧长作为求解飞机所需时间的指标，首先，通过查资料获得约翰内斯堡机场和北京准确的经纬度信息，根据几何关系将经纬度以及高度信息通过MATLAB转换成空间直角坐标系中的X,Y,Z坐标，得到了航线上起止各个点与球心连线的向量坐标；由向量之间夹角公式求得夹角余弦值，并进

2、一步转换成弧度，由弧度乘以地球半径，最终得到了各段航线的弧长以及飞机航线总弧长，带入飞机平均速度以及加油所需时间即球的飞机飞行总时间。针对问题2，注意到条件是把地球是正球体改为了椭球体，根据椭球第一偏心率及几何关系利用MATLAB将经纬度及信息转换成空间直角坐标。再利用已知起止点分别与球心（0，0，0）联立求出三点所在平面方程，在合理的条件下，通过平面方程求出平面与椭球交线（是一个椭圆）的短半径，以及平面与地球赤道的两个交点坐标，之后通过集合关系构建方程求得各个椭圆面上起止点的四种极距角，利用上述参数建立椭圆弧线的几何数学模型，带入数据求解飞机航线各段弧长以及

3、总弧长，根据飞机平均飞行时间以及加油所需时间求解出在椭圆情况下的飞机飞行时间。关键词：第一偏心率；坐标转换；极距角；截面椭圆短半径；航线长度飞机航行用时问题一、问题的重述新华网约翰内斯堡２月１日电据南非媒体２月１日报道，南非１月３１日正式开通直飞北京的航班，结束了南非与中国内地之间没有直达航班的历史。据南非《市民报》报道，当地时间１月31日零时20分左右，南非航空公司一架客机从约翰内斯堡机场起飞，于北京时间１月31日20时50分左右抵达北京，空中飞行近15个小时。南非航空公司每周直飞北京３个航班。南非航空公司官员说，中国是南非最大的贸易伙伴，南非航班直航北京将

4、促进两国旅游和贸易等方面的发展。近期由于印度洋天气恶劣，南非飞北京航班需要改变航线，由于航程增加过多，飞机需要中途加油一次。新航线需要经过两处：ooA1(南纬5，西经31)；ooA2(北纬2628’，西经4947’)；沙特法赫德国王国际机场(航班加油)请分析改变航线后，航班从南非起飞到达北京机场需要多长时间。假设：飞机飞行高度约为10公里。请从下面两种情况进行分析(1)设地球是半径为6370千米的球体；(2)设地球是一旋转椭球体，赤道半径为6380千米，子午线短半轴为6360千米。二、基本假设1、假设飞机在飞行过程中速度变化不大，看做匀速行驶2、假设飞机飞行高

5、度恒定，始终为距地表10公里3、假设飞机正常飞行，不会发生突发事件以及天气变化等4、假设飞机从起飞时刻起即达到平均速度2三、符号说明符号符号说明h飞机距离地心距离θ前后两地点与地心连线的夹角a航线所在椭圆体长半径b’截面椭圆短半径θ1、θ2极距角b子午圈短半径e第一偏心率S飞机航线总弧长T飞机飞行总时间四、模型建立与求解问题一(一)、问题的分析问题1在飞机速度是匀速的假设下，可以将此题看作一个简单的数学求解问题。该问题的关键在于找出经纬度与地球表面10公里处飞机飞行轨迹弧长的联系。考虑到，飞机在某一点飞行的轨迹（高度和方向）由飞机出发位置与飞机下一个目的地在地

6、球上的相对位置决定，而这个相对位置由当地的的地理经纬度、高度（地球表面10公里处）和飞行方向（这里的方向为飞机出发地与下一个目标地点的连线方向）三个因素决定，由于问题1中我们只需考虑改变航线后飞机从南非到北京的飞行时间，所以我们可以用地理经纬度、飞机距离地心距离(h)及飞机每一段起飞地点与目的地分别与地心之间连线的夹角(θ)等参数建立弧长长度的数学模型，由弧长之和相加除以飞机的平均速度即为飞行时间。而后，利用上述建立好的模型及MATLAB软件，以南非约翰内斯堡机场到北京的弧长长度为目标，编写程序将经纬度及海拔转换为空间直角坐标，进而求解弧长，就可以得出题目要求

7、的南非约翰内斯堡机场到北京所需飞行时间。（二）、模型的建立与求解根据问题分析，我们用地理经纬度、飞机距离地心距离(h)及飞机每一段起飞地点与目的地分别与地心之间连线的夹角(θ)等参数建立弧长长度的数学模型并进一步求出飞机飞行所需时间。首先我们很容易得到各个地点的经纬度（这里用正值表示东经和oo北纬，负值表示西经和南纬）：约翰内斯堡机场（-2613’，2823’）；ooooooA1(-5，-31)；A2(2628’，-4947’)；北京（3990’，11639’）。如图1所示，以球心为坐标原点经纬度同时为零的点与地心的连线为Y轴，赤道平面上与Y轴垂直90°方向建

8、立X轴，北极方向为Z轴建立空间直角坐标