概率统计简明教程 第四章 随机变量的数字特征.doc

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1、第四章随机变量的数字特征在前面两章中我们讨论了随机变量的概率分布，这是关于随机变量统计规律的一种完整描述，然而在实际问题中，确定一个随机变量的分布往往不是一件容易的事，况且许多问题并不需要考虑随机变量的全面情况，只需知道它的某些特征数值.例如，在测量某种零件的长度时，测得的长度是一个随机变量，它有自己的分布,但是人们关心的往往是这些零件的平均长度以及测量结果的精确程度；再如，检查一批棉花的质量，既要考虑棉花纤维的平均长度，又要考虑纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度越大，偏离程度越小，质量越好.这些与随机变量有关的数值，我们称之为随机变量的数字特征，在概率论与数理统计中起

2、着重要的作用.本章主要介绍随机变量的数学期望、方差、矩以及两个随机变量的协方差和相关系数.§1数学期望1.1数学期望的概念在实际问题中，我们常常需要知道某一随机变量的平均值，怎样合理地规定随机变量的的平均值呢？先看下面的一个实例.例1.1设有一批钢筋共10根，它们的抗拉强度指标为110，135，140的各有一根；120和130的各有两根；125的有三根.显然它们的平均抗拉强度指标绝对不是10根钢筋所取到的6个不同抗拉强度：110，120，125，130，135，140的算术平均,而是以取这些值的次数与试验总次数的比值（取到这些值的频率）为权重的加权平均，即平均抗拉强度.从上

3、例可以看出，对于一个离散型随机变量，其可能取值为，如果将这个数相加后除作为“均值”是不对的.因为取各个值的频率是不同的，对频率大的取值，该值出现的机会就大，也就是在计算取值的平均时其权数大.如果用概率替换频率，用取值的概率作为一种“权数”做加权计算平均值是十分合理的.经以上分析，我们可以给出离散型随机变量数学期望的一般定义.1.离散型随机变量的数学期望定义1.1设为一离散型随机变量，其分布律为（），若级数绝对收敛，则称此级数之和为随机变量的数学期望，简称期望或均值.记为，即（1.1）例1.2.某人从把钥匙中任取一把去试房门，打不开则除去，另取一把再试直至房门打开.已知钥匙中

4、只有一把能够把房门打开，求试开次数的数学期望.解设试开次数为，则分布律为，从而.例1.3设随机变量，求.解因为，例1.4设随机变量，求.解因为，有因此.我们可以类似地给出连续型随机变量数学期望的定义，只要把分布律中的概率改为概率密度，将求和改为求积分即可.因此，我们有下面的定义.2.连续型随机变量的数学期望定义1.2设为一连续型随机变量，其概率密度为，若广义积分绝对收敛，则称广义积分的值为连续型随机变量的数学期望或均值，记为，即.（1.2）例1.5设随机变量的概率密度为求.解依题意，得，.例1.6设随机变量服从区间上的均匀分布，求.解依题意，的概率密度为因此.例1.7设随机

5、变量服从为参数的指数分布，求.解依题意，的概率密度为因此.例1.8设随机变量服从正态分布，求.解由于因此.例1.9已知二维随机变量的概率密度为求.解由第三章例3.2的结果关于的边缘概率密度为即,因此.1.2随机变量函数的数学期望定理1.1设随机变量是随机变量的函数，（其中为一元连续函数）.（1）是离散型随机变量，概率分布律为，，则当无穷级数绝对收敛时，则随机变量的数学期望为;（1.3）（2）是连续型随机变量，其概率密度为，则当广义积分绝对收敛时，则随机变量的数学期望为.（1.4）这一定理的重要意义在于，求随机变量的数学期望时，只需利用的分布律或概率密度就可以了，无需求的分布

6、，这给我们计算随机变量函数的数学期望提供了极大的方便.定理的证明超出了本书的范围，下面我们仅就连续型随机变量，且单调的情形给出证明.证明第二章定理4.2给出了随机变量的概率密度其中为随机变量概率密度，函数是处处可导的严格单调函数，它的反函数为，则有.当时，当时.例1.10设离散型随机变量的分布律为求随机变量的数学期望.解依题意，可得，.例1.11随机变量，求的数学期望.解依题意，可得例1.12国际市场每年对我国某种商品的需求量是随机变量（单位：吨），它服从上的均匀分布，已知每售出1吨商品，可挣得外汇3万元;若售不出去而积压，则每吨商品需花费库存费等共1万元，问需要组织多少货

7、源，才能使国家受益期望最大？解设组织货源吨，，受益为随机变量（单位：万元），按照题意是需求的函数的概率密度为由（1.4），得当时达到最大值，也就是说组织货源3500吨时国家的期望受益最大.例1.13柯西分布的数学期望由于，所以不存在.上述的定理可以推广到两个或两个以上随机变量的函数上去，我们有下面的定理.定理1.2设随机变量是随机变量的函数，,其中为二元连续函数，则（1）如果为二维离散型随机变量,其分布律为,且绝对收敛，则随机变量的数学期望为；（1.5）（2）如果为二维连续型随机变量时，概率密度为,且绝对收敛，则随