高中数学 2.3 圆的切线的性质及判定定理教案 新人教A版选修4-1.doc

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1、三圆的切线的性质及判定定理课标解读1.掌握切线的性质定理及其推论，并能解决有关问题．2.掌握切线的判定定理，会判定直线与圆相切.1．切线的性质定理及推论图2－3－1(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．如图2－3－1，已知AB切⊙O于点A，则OA⊥AB.(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．2．切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．1．“以圆的两条平行切线的切点为端点的线段是圆的直径”这句话对吗？为什么？【提示】　正确．如

2、图AB、CD分别切⊙O于E、F，连接EO并延长交CD于F′，∵AB是⊙O的切线，∴OE⊥AB.∵AB∥CD，∴OF′⊥CD，∴F′为切点，∴F′与F重合，即EF是⊙O的直径．2．判定直线与圆相切共有哪几种方法？【提示】　判定直线与圆相切共有三种方法：(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．3．从圆的切线的性质定理及推论，你能得出怎样的结论？【提示】　分析圆的切线的性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可以得出如下结论：如果一条

3、直线具备下列三个条件中的任意两个，就可以推出第三个．①垂直于切线；②过切点；③过圆心．于是在利用切线性质时，通常作的辅助线是过切点的半径．圆的切线性质的应用图2－3－2　如图2－3－2所示，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB，AD⊥CD.(1)求证：OC∥AD；(2)若AD＝2，AC＝，求AB的长．【思路探究】　(1)要证OC∥AD，只需证明OC⊥CD.(2)利用△ADC∽△ACB可求得．【自主解答】　(1)如图所示，连接BC.∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.又AD⊥CD，∴OC∥AD.(

4、2)∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∴△ADC∽△ACB.∴＝，∴AC2＝AD·AB.∵AD＝2，AC＝，∴AB＝.1．利用圆的切线的性质来证明或进行有关运算时，常用连接圆心与切点的半径与切线垂直这一理论产生垂直关系．2．常作的辅助线：(1)连接切点与圆心的半径．(2)构造直径所对的圆周角．如图2－3－3，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D作⊙O的切线交AC于E.求证：DE⊥AC.图2－3－3【证明】　如图，连接

5、OD、AD.∵AB为⊙O直径，∴AD⊥BC.∵AB＝AC，即△ABC为等腰三角形，∴AD为BC边上的中线，即BD＝DC.又OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线．∴OD∥AC.∵DE切⊙O于D，∴OD⊥DE.∴DE⊥AC.圆的切线的判定　如图2－3－4，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过E作直线与AF垂直，交AF的延长线于点D，且交AB的延长线于点C.求证：CD是⊙O的切线．图2－3－4【思路探究】　利用圆的切线的判定定理进行切线的证明，关键是找出定理的两个条件：①过半径的外端；②该直线与某一条半径所在的直

6、线垂直．【自主解答】　如图，连接OE.∵OA＝OE，∴∠1＝∠2.又∵AE平分∠BAF，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3，∴OE∥AD.∵AD⊥CD，∴OE⊥CD.∴CD与⊙O相切于点E.1．解答本题的关键是证明OE⊥CD，而已知AD⊥CD，故只需证明OE∥AD.2．判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法(1)如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”；(2)若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长

7、等于半径，简记“作垂直，证半径”．图2－3－5　(2013·洛阳模拟)如图2－3－5，直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，E为AB上的点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与CD有怎样的位置关系？【解】　如题图，过E作EF⊥CD于F，∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∠A＝∠B＝90°，∴AE＝EF＝BE＝AB.∴以AB为直径的圆的圆心为E，∴EF是圆心E到CD的距离，且EF＝AB，∴以AB为直径的圆与边CD是相切关系.圆的切线性质和判定定理的综合应用　如图2－3－6，AB为⊙O的直

8、径，D是的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于点F.图2－3－6(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若DE＝3，⊙O的半径为5，求BF的长．【思路探究】　(1)利用圆的切线判定定理证明．(2)作DG⊥AB于G，利用△ADG∽△AFB求解．【自主解答】　(1)连接OD，∵D是中点．∴∠1＝