2020年高考数学二轮微专题突专题24 以几何体为载体的应用题（解析版）.docx

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1、专题24以几何体为载体的应用题在江苏高考的试题中，应用题是每年必考的题型，应用题主要体现了学生运用数学知识解决实际问题的能力。近几年来应用题以几何背景呈现的居多，特别是一些几何体如直棱柱、圆锥、圆柱、球等简单的几何体的面积或体积有关。因此，在复习中要特别重视以几何题为背景的函数应用题。解决此类问题的关键明确各个量之间的关系，运用立体几何的知识点求出各种量，然后表示出面积、体积建立目标函数。一、例题选讲题型一、多面体有关的应用题例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面

2、ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M.已知HM＝5m，BC＝10m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH＝θ.(1)求屋顶面积S关于θ的函数关系式；(2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k为正的常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6m的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？　(1)先通过线面垂直得到FH⊥HM，放在Rt△FHM中，求出FM，根据三角形的面积公式求出△FBC的面积，根据已知条件就可以

3、得到所求S关于θ的函数关系式．(2)先求出主体高度，进而建立出别墅总造价y关于θ的函数关系式，再通过导数法求函数的最小值．(1)规范解答由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，又因为HM⊂平面ABCD，得FH⊥HM.(2分)在Rt△FHM中，HM＝5，∠FMH＝θ，15/15所以FM＝.(4分)因此△FBC的面积为×10×＝.从而屋顶面积S＝2S△FBC＋2S梯形ABFE＝2×＋2××2.2＝.所以S关于θ的函数关系式为S＝.(6分)(2)在Rt△FHM中，FH＝5tanθ，所以主体高度为h＝6－5tanθ.(8分)所以别墅总造价为y＝S·k＋h·16k＝k

4、－k＋96k＝80k·＋96k.(10分)记f(θ)＝，0<θ<，所以f′(θ)＝，令f′(θ)＝0，得sinθ＝，又0<θ<，所以θ＝.(12分)列表：θf′(θ)－0＋f(θ)　　所以当θ＝时，f(θ)有最小值．答：当θ为时，该别墅总造价最低．(14分)理解题意，建立出函数的关系式，是处理最优解类型应用问题的关键，第(1)问，抓住条件”梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍”，只要用θ表示出△FBC面积，即可得到屋顶面积．第(2)问，需要先设出总造价为y元，抓住已知条件，求出主体高度并结合第(1)问中求得的屋顶面积，就可以建立函数关系式．15/

5、15题型二、与球、圆有关的应用题例2、(2018苏北四市期末）某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1，为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180°而成，如图2，已知圆O的半径为10cm，设∠BAO＝θ，0<θ<，圆锥的侧面积为Scm2.(1)求S关于θ的函数关系式；(2)为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大，求S取得最大值时腰AB的长度．（图1）　　　（图2）(1)母线长l是OA在AB上的射影的两倍，可用θ表示．底面半径r是l

6、在底面上的射影，可用l和θ表示．从而S＝πrl可用θ表示；(2)求导数，找导函数的零点，列表确定极大值，唯一的极大值也是最大值．规范解答(1)设AO交BC于点D，过O作OE⊥AB，垂足为E.在△AOE中，AE＝10cosθ，AB＝2AE＝20cosθ.(2分)在△ABD中，BD＝AB·sinθ＝20cosθ·sinθ，(4分)所以S＝·2π·20sinθcosθ·20cosθ＝400πsinθcos2θ.(6分)15/15(2)由(1)得S＝400πsinθcos2θ＝400π(sinθ－sin3θ)．(8分)令x＝sinθ(0

7、x3，则f′(x)＝1－3x2，由f′(x)＝1－3x2＝0得x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xf′(x)＋0－f(x)极大值所以f(x)在x＝时取得极大值，也是最大值．所以当sinθ＝时，侧面积S取得最大值，(11分)此时等腰三角形的腰长AB＝20cosθ＝20＝20＝(cm)．答：侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰AB的长度为cm.(14分)例3、（2019秋•闵行区校级月考）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为圆弧的中点）和线段MN构成，已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米，现规范

8、在此农田修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为梯形MNBA，其中A