直线和平面所成角与二面角习题课.doc

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1、直线和平面所成角与二面角课前练习如下图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.（1）求证：AB⊥BC；（2）若设二面角S—BC—A为45°，SA=BC，求二面角A—SC—B的大小.ABCSEH如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.（Ⅰ）证明PA//平面EDB；（Ⅱ）证明PB⊥平面EFD；（Ⅲ）求二面角C—PB—D的大小.如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B—

2、AC—E的大小；（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.例1．直角的斜边在平面内，与所成角分别为，是斜边上的高线，求与平面所成角的正弦值。解：过点作于点，连接，则，，为所求与所成角，记为，令，则，则在中，有在中，∴与平面所成角的正弦值.例2．已知在一个的二面角的棱长有两点，分别是在这个二面角的两个平面内，且垂直于线段，又知，求的长。解：由已知，∴，例3．如果二面角的平面角是锐角，点到的距离分别为，求二面角的大小。分析：点可能在二面角内部，也可能在外部，应区别处理。解：如图1是点在二面角的内部时，图2是点在二面角外部时，∵∴∵∴面同理，面而面面∴面与面应重合即在同一平面内，则是二面角的平面角在中，∴在

3、中，∴故（图1）或（图2）即二面角的大小为或。说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角。例4．如图，正方体的棱长为1，，求：（1）与所成角；（2）与平面所成角的正切值；（3）平面与平面所成角。解：（1）∵∴与所成角就是∵平面∴（三垂线定理）在中，∴（2）作，平面平面∴平面，为与平面所成角在中，∴（3）∵∴平面又∵平面∴平面平面即平面与平面所成角为。说明：本题包含了线线角，线面角和面面角三类问题，求角度问题主要是求两条异面直线所成角，直线和平面所成角，二面角三种；求角度问题解题的一般步骤是：（1）找出这个角；（2）证明该角符合题意；（3）作出这个角所在的三

4、角形，解三角形，求出角；求角度问题不论哪种情况都归结到两条直线所成角问题，即在线线成角中找到答案。五．小结：1．二面角、线面角的有关概念；2．角问题的一般处理方法。六．作业：补充：1.如图，平面，，若，求二面角的正弦值。2．点为的二面角内一点，到的距离均为10，求点到棱的距离。3．如图，矩形平面，若与平面所成的角为，与平面成角，求：（1）的长；（2）求与所成角；（3）求二面角的余弦值。