97 直线和平面所成角与二面角

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1、97直线和平面所成的角与二面角学法导引本节是本章的核心内容之一，是多个知识点的交汇处．在本节的学习中我们要在学习知识的同时，深刻理解体会各个知识点之间的内在联系，如线线垂直、线面垂直、面面垂直的互相转化，不同方向的转化的作用，三种空间角：线线角、线面角、面面角求法的异同点等．同时通过对典型例题的学习，掌握解决问题的方法，学会思路分析，掌握解题步骤的写法，形成一个统一完整的知识结构．知识要点精讲知识点1　直线和平面所成的角1．斜线和平面所成的角：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平

2、面的夹角)．2．直线和平面所成的角的大小范围是[0°，90°]．当α＝0°时，直线在平面内或直线平行于平面；当α＝90°时，直线垂直于平面；当0°＜α＜90°时，直线与平面斜交．3．最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角．4．作法：作直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影．知识点2　二面角的概念及平面角的作法1．二面角概念：从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．如图9－7－1所示，记为α－a－β，二面角有三个要素：两个半平面和一条棱．3．二面

3、角的平面角的作法有三种：(1)定义法；(2)三垂线定理法；(3)直截面法(作与棱垂直的截面)．4．二面角的大小的取值范围为(0°，180°]．5．平面角是直角的二面角叫做直二面角．6．两个平面相交所成的二面角是直二面角时，就说这两个平面互相垂直．知识点3　两个面垂直的判定方法方法一　(定义法)如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直．定义法把面面垂直关系数量化．方法二　(判定定理)如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．知识点4　两个平面垂直的性质性质1　(性质定理)如果两个平

4、面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．知识点5　平面图形的翻折将平面图形沿某一直线进行翻折得到一个二面角，图形由平面图形变成了空间图形，研究翻折后空间元素的数量或位置关系，这一类问题称为平面图形的翻折．解这类问题的关键是把折前折后的图形进行对照，分析哪些元素的数量或位置发生改变，哪些没有改变．解题方法、技巧培养出题方向1　有关线面角的计算点拨　求直线和平面所成的角时，应注意的问题是(1)先判断直线和平面的位置关系；(2)当直线和平面斜交时，常以以下步骤：①构造--作出或找出斜线与射影所成的角，②设

5、定--论证所作或所找的角为所求的角，③计算--常用解三角形的方法求角，④结论--点明直线和平面所成的角值．出题方向2　两个平面垂直的判定例2　如图9－7－3，P是△ABC所在平面外一点，∠ABC＝90°，PA＝PB＝PC，求证：平面PAC⊥平面ABC．[分析]　要证明平面PAC⊥平面ABC，只要在平面PAC(或平面ABC)中找到一条平面ABC(或平面PAC)的垂线，这条垂线要根据图中条件来找．[证明]　∵　PA＝PC，取AC中点O，连结PO、OB，则PO⊥AC，∵　∠ABC＝90°，O为AC中点，∴　AO＝OC＝OB．△

6、POC和△POB中，PO＝PO，PC＝PB，OC＝OB，∴　△POC≌△POB．∴　∠POB＝∠POC＝90°，即PO⊥OB．又∵　OC∩OB＝O，∴　PO⊥平面ABC．点拨　应用判定定理，面面垂直要由线面垂直推得，而线面垂直又要依靠线线垂直，因此线线垂直在证明面面垂直时尤为重要．出题方向3　两个平面垂直的性质例3　如图9－7－6，PA⊥平面ABC，二面角A－PB－C是直二面角，求证：AB⊥BC．[分析]　要证线线垂直，可以通过线面垂直．而要得到线面垂直，可以通过判定定理，也可以通过面面垂直的性质．[证明]　过A作AD⊥

7、PB于D．∵　二面角A－PB－C是直二面角，即平面APB⊥平面CPB，∴　PA⊥BC．而PA∩AD＝A，∴　BC⊥平面PAB．∴　BC⊥AB．出题方向4　有关二面角的计算图9－7－8图9－7－9点拨　(1)问题(1)由平面与平面的特殊位置关系求角，问题(2)(3)都是根据定义作出角，再在三角形中求角．(2)两个平面相交成四个二面角，即两对对棱角．把锐角或直角叫做两个平面所成的角，取值范围为(0°，90°]而二面角取值范围为(0°，180°]出题方向5　平面图形的翻折问题例5　如图9－7－13，∠ACB＝90°，CD是∠A

8、CB的平分线，现沿CD将∠ACB折成60°的二面角A－CD－B，求折后AC与平面CDB所成角的正弦值．图9－7－13[解]　在折前图(1)CD上取一点M，过M作CD的垂线交AC、BC于E、F，折后图(2)中．∵　CD⊥EM，CD⊥FM，∴　∠EMF＝60°且平面EMF⊥平面CFM．点拨　平面图形的翻折要注意观察折前后