实变函数复习题.doc

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1、一、计算或证明下面各题1、设是如下一点集：，，试确定的上极限和下极限。2、证明：与。3、证明：单调集列是收敛的，若增加，则；若减少，则。4、设是一列集合，作，，。证明：是一列互不相交的集，而且，。5、设、是中两个互不相交的闭集。证明：存在两个互不相交的开集、,使、。6、证明：设、都可测，则也可则，并且当时，对于任意集合T总有。2、证明：设是一列互不相交的可测集，则也是可测集，且。3、证明：设是任一可测集，则一定存在型集，使，且。4、设，是一些互不相交的可测集合，。求证：。5、设A,B且，若A是可测集，

2、证明：。6、证明：若可测，则对于任意，恒有开集几闭集，使,而，。7、证明：设，存在两侧两列可测集{}，{},使得且，则可测。8、设是中可测集，若，证明：对任意可测集，。9、证明：设是上一列收敛于一个有限的函数的可测函数,则对,存在子集,使在上一致收敛,且。2、设是上一列有限的可测函数，则对,存在闭子集,使在上一致收敛,且。16、写出并证明上述定理的逆定理。17、设函数列在有界集上“基本上”一致收敛于，证明：收敛于。18、设函数列在上依测度收敛于，且与，。试证：在上几乎处处成立。19、设在上，且几乎处处

3、成立，，则几乎处处有收敛于。20、设在上，且成立，，则有。21、设，几乎处处有限的函数列和，，分别依测度收敛于和，证明：。22、设在上依测度收敛于，则存在子列在上收敛于。23、证明：设，是上有限的可测函数列，在上收敛于有限的函数，则。24、设，，则在上几乎处处成立。25、设,是上有限的可测函数。证明：存在定义在上的一列连续函数，使得。26、设在上可积，，则。27、设是E上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。28、若，对，存在开集,使得且满足，证明是可测集。二、用集合表示下面的结论：：：：：

4、三、写出下列定义或定理：上极限：下极限：的领域：紧集：自密集：完备集：外侧度：外侧度的三条基本性质:的测度：代数：由代数：型集：型集：可测函数：简单函数：可测函数与简单函数的关系：叶果洛夫定理：鲁津定理：函数列依测度收敛于：非负简单函数的勒贝格积分：非负可测函数的勒贝格积分：列维定理：逐项积分定理：法图引理：一般可测函数勒贝格积分：积分绝对连续性：积分的可数可加性：勒贝格控住收敛定理：