实变函数复习题new

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1、复习题1一、判断1、若N是自然数集，为正偶数集，则N与对等。（对）2、由直线上互不相交的开间隔所成之集是至多可列集。（对）3、若是上的有限个集，则下式成立。（对）4、任意多个开集的交集一定是开集。（错）5、有限点集和可列点集都可测。（对）6、可列个零测集之并不是零测集。（对）7、若开集是开集的真子集，则一定有。（错）8、对于有界集，必有。（对）9、任何点集E上的常数函数=C，是可测函数。（错）10、由在上可测可以推出在上可测。（对）二、填空1、区间（0,1）和全体实数R对等，只需对每个，令2、任何无限集合都至少包含一个可数子集3、设都可测，则也可测，并且当为空集时，对于任意集合T总有

2、4、设E是任一可测集，则一定存在型集F，使，且5、可测集上的连续函数是可测函数。6、设E是一个有界的无限集合，则E至少有一个聚点。7、设π是一个与集合E的点x有关的命题，如果存在E的子集M，适合mM=0，使得π在EM上恒成立，也就是说，EE[π成立]=零测度集，则我们称π在E上几乎处处成立。8、E为闭集的充要条件是。9、设A、B是两个非空集合，若，则有。三、证明1、证明：若，且，则有。证明：由条件易得，（1）（2）由于,,而,已知,所以.而,由（1）（2）得。2、设为上的连续函数，则对任意的，、为闭集证：先证是闭集。设是的一个极限点，则中有点列，使.由知.又由的连续性及极限不等性

3、可得..即.故为闭集.4、设是E上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。证：显然，的收敛点集可表示为=.由可测及都可测，所以在上可测。从而，对任一自然数，可测。故可测。既然收敛点集可测，那么发散点集也可测。实变函数复习题2一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。共10小题，每题1.5分，共10×1.5=15分）1、中全体子集构成一个代数。（√）2、存在闭集使其余集仍为闭集。（√）3、若是可测集，是的可测子集，则。(×)4、无限集中存在基数最大的集合，也存在基数最小的集合。(×)5、可数个可数集的并集是可数集。（√）6、、可数个集的交集不一定是集。（×）7、若

4、是可测集，是上的实函数，则在上可测的充要条件是：存在实数，使是可测集。（×）8、若是可测集，是的可测子集，则。(×)9、若是可测集，是上的非负可测函数，则在上一定可积。(×)10、若是可测集，是上的非负简单函数，则一定存在。(√)二、选择题。（每道题只有一个答案正确，多选或者不选均为零分，每道题1.5分，共15分）1、下列集合关系成立的是（A）（A）（B）（C）（D）2、若是开集，则（B）（A）（B）的内部（C）（D）3、设是有理数，则下列正确的是（B）A．；Ｂ．；Ｃ．；Ｄ．以上都不正确。4.、设是中的可测集，为上的可测函数，若，则（A）（A）在上，不一定恒为零（B）在上，（C）在上

5、，（D）在上，5、设是中的可测集，是上的简单函数，则（D）（A）是上的连续函数（B）是上的单调函数（C）在上一定不可积（D）是上的可测函数6、设是的单调函数，则（C）（A）不是的有界变差函数（B）不是的绝对连续函数（C）在上几乎处处连续（D）不在上几乎处处可导7、若至少有一个内点，则（D）（A）可以等于零（B）是可数集（C）可能是可数集（D）8、设是中的无理点全体，则（C）（A）是可数集（B）是闭集（C）中的每一点都是聚点（D）9、设在可测集上可积，则（D）（A）和有且仅有一个在上可积（B）和不都在上可积（C）在上不一定可积（D）在上一定可积10、设是可测集，则的特征函数是（B）（A

6、）在上不是简单函数（B）在上的可测函数（C）在上不是连续函数（D）上的连续函数三、填空题（将正确的答案填在横线上，每道题1分，共10分）1、设为全集，，为的两个子集，则。2、设，如果满足，则是闭集。3、若开区间是直线上开集的一个构成区间，则满足、。4、设是无限集，则的基数（其中表示可数基数）。5、设，为可测集，，则。6、设是定义在可测集上的实函数，若对任意实数，都有是可测集，则称是可测集上的可测函数。7、设是的内点，则。8、设函数列为可测集上的可测函数列，且，则由黎斯定理可得，存在的子列，使得。9、设是上的可测函数，则在上的积分不一定存在，且在上不一定可积。10、若是上的绝对连续函数

7、，则一定是上的有界变差函数。四、证明题。1、上的全体无理数作成的集合其基数为c证明：设A为中的有理数集，B为上的无理数集，则,即又因为c所以=c2、开集减闭集后的差集仍是开集；闭集减开集后的差集仍是闭集。证明：设A为开集，B为闭集，则因为B为闭集，所以为开集因此A-B为开集；同上所设有又因为A为开集所以为闭集。因此B-A为闭集。2、设A,B且，若A是可测集，证明证明：因为A是可测集，所以由卡拉泰奥多里条件得(I)于是(II)将(II)代入(I)得3、设，存